专题46圆的切线系、圆系的综合应用【方法点拨】1.直线方程(其中均为实常数，且，)的几何意义是，以为圆心为半径圆的切线系.事实上，为“动中寻静”使所求值与无关，只需求点到直线的距离，有，即直线是圆全体切线组成的集合，它可以看作过圆上任意一点的切线.2.当圆心坐标含参时，应考虑消参，探求圆心的轨迹.【典型题示例】例1已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是 A．对任意实数与，直线和圆有公共点 ；B．对任意实数与，直线与圆都相离； C．存在实数与，直线和圆相离； D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切； E．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.【答案】AD【分析】对于圆动圆心，定半径，圆心为，故其轨迹是以（1,2）为圆心，半径的圆.直线过定点（1,2）.【解析】选项，由题意知圆的圆心为，半径为，直线的方程可以写作，过定点，因为点在圆上，所以直线与圆相切或相交，任意实数与，直线和圆有公共点，正确，错误；选项，由以上分析知不存在实数与，直线和圆相离，错误；选项，当直线与圆相切时，点恰好为直线与圆的切点，故直线与直线垂直，①当时，直线与轴垂直，则，即，解得，存在，使得直线与圆相切；②当时，若直线与直线垂直，则，直线的斜率为，所以，即，此时对任意的，均存在实数，使得，则直线与直线垂直，综上所述，对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，正确．选项，点到直线的距离为，令，当时，；当时，，即此时恒成立，直线与圆必相交，故此时不存在实数，使得直线与圆相切，错误．故选AD．例2设直线系．下列四个命题中正确的是（）A．存在一个圆与所有直线相交；B．存在一个圆与所有直线不相交；C．存在一个圆与所有直线相切；D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.【答案】ABC【解析】因为所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在，半径大于1的圆与中所有直线相交,A正确也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确故正确因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 与 均为等边三角形而面积不等,故错误，答案选ABC.例3（多选题）设有一组圆：．下命题中真命题是（）.A.存在一条定直线与所有的圆均相切；B.存在一条定直线与所有的圆均相交；C.存在一条定直线与所有的圆均不相交；D.所有的圆均不经过原点．【答案】BD【解析】根据题意得：圆心坐标为，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系：圆：圆心，半径为，圆：圆心，即，半径为，两圆的圆心距，两圆的半径之差，任取或时，（），含于之中，选项①错误；若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，将带入圆的方程,则有，即（），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确。故答案为：BD.【巩固训练】1.已知动直线与圆相交于A，B两点，圆下列说法：①与有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32.（多选题）设直线系,对于下列四个命题：．中所有直线均经过一个定点；．存在定点不在中的任一条直线上；．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上；．中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题是（）3.（多选题）关于下列命题，正确的是（）A．若点在圆外，则或；B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切；C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切；D．已知点是直线上一动点，､是圆：的两条切线，､是切点，则四边形的面积的最小值为.4.（多选题）圆与圆，下列说法正确的是（）A．对于任意的，圆与圆始终相切；B．对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；C．当时，圆被直线截得的弦长为；D．P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4.5.（多选题）设有一组圆，下列命题正确的是（）．A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上；B．所有圆均不经过点；C．经过点的圆有且只有一个；D．所有圆的面积均为.6．已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则.7.当取遍所有值时，直线所围成的图形面积为.8.已知，（），对任意，经过两点、的直线与一定圆相切，则该圆的方程为.9.在直角坐标系中，已知直线，当变化时，动直线始终没有经过点．定点的坐标，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案或提示】1.【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离后结合两圆的半径可判断各项的正误，从而可得正确的选项.【解析】原点到直线的距离，因为圆的半径为1且原点为其圆心，∴直线与圆相切，故①正确；原点为圆的圆心，故，∴线段AB的长度为定值，故②正确；设的中点为，则，故线段AB的中点轨迹为，故③正确.故选：D.2.【答案】BC【解析】因为所以点到中每条直线的距离即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误又因为点不存在任何直线上,所以B正确w.w.w.k.s.5.u.c.o.m对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,故命题中正确的序号是B,C.3.【答案】ACD【解析】的圆心，半径，则，所以或，故A正确；已知圆：的圆心，半径，圆心到直线的距离，当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，四边形的面积最小值，故D正确.故选：ACD.4.【答案】ACD【分析】动圆圆心为，，故其轨迹是以（0,0）为圆心，2为半径的圆，结合形，求出圆心距，判断两圆位置关系可判断AB，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长判断C，由两圆心距离可判断D．【解析】由已知，，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；时，，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确；由于，∴，共线时最大值．D正确．故选：ACD．5.【答案】ABD【解析】圆心坐标为，在直线上，A正确；令，化简得，∵，∴，无实数根，∴B正确；由，化简得，∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．故选：ABD．6.【答案】4【解析】圆心到直线的距离为，所以圆的半径，且，所以圆上在直线的两侧各有两个点到直线的距离等于1.7.【答案】【解析】直线方程可化为故点（1,1）到该直线的距离∴直线是与以点（1,1）为圆心，4为半径的圆相切的直线系故直线所围成的图形面积为.8.【答案】【解析】∵，∴、都在直线，故经过两点、的直线是∴点（0,0）到该直线的距离故所求圆的方程为.9.【答案】D【分析】根据原点到直线的距离为1，结合题意可得点在单位圆内，即可求解.【解析】因为原点到直线的距离为，所以动直线所围成的图形为单位圆，又动直线始终没有经过点，所以点在该单位圆内，，，即的取值范围为.故选：D．