专题52数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数).2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且其首项为a1，公差为{an}公差的eq\f(1,2).4.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为.5.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则.【典型题示例】例1是公差为2的等差数列的前n项和，若数列也是等差数列，则________.【答案】或3【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差数列的结构特征解题.【解析一】（特殊值法）由题意，∵数列是等差数列∴，，解得或，时，，时，，均为的一次函数，数列是等差数列，故的值为－1或3.【解析一】（特殊值法）由题意，∵数列是等差数列∴必为关于的一次式，即是完全平方式∴解之得或（下同解法一）．例2已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则．【答案】2【解析】因为是首项为2，公比为的等比数列．所以．为等比数列，则也为等比数列．所以，即．点评：等比数列通项的结构特征是：.例3已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是.【答案】5【解析】根据等差数列前项和的公式不难得到：（﹡）（﹡）式是一个关于的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”——即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量因为所以，要求使得为整数的正整数，只需为的不小于的正约数所以例4已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6，则S2020等于________.【答案】2020【解析】由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列，设其公差为d，则eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6d＝6，∴d＝1，且首项为eq\f(S1,1)＝－2014.故eq\f(S2016,2016)＝eq\f(S1,1)＋2015d＝－2014＋2015＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.【巩固训练】1.记等差数列{an}的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=.2.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，数列{bn}满足bn＝eq\f(Sn,n＋c)（其中c≠0），若{bn}为等差数列，则c的值等于________.3.设等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为________.4.设，分别是等差数列，的前项和，已知，，则．5.已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为．6.已知数列的{an}的前n项和Sn，若{an}和都是等差数列，则的最小值是.【答案与提示】1.【答案】50【解析】设该等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得.又因为数列为等差数列，，故.所以.2.【答案】－eq\f(1,2)【解析】 设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.所以bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).法一 （特殊值法）所以b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c)(c≠0).令2b2＝b1＋b3，解得c＝－eq\f(1,2).当c＝－eq\f(1,2)时，bn＝eq\f(2n2－n,n－\f(1,2))＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－eq\f(1,2)时，数列{bn}为等差数列.法二 由bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(\f(n（1＋4n－3）,2),n＋c)＝eq\f(2n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2))),n＋c)，∵c≠0，∴可令c＝－eq\f(1,2)，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c＝－eq\f(1,2)，使数列{bn}也为等差数列.3.【答案】9【解析】联想等比数列的前n项和的结构特征，可知：，，且所以.4.【答案】【提示】因为，所以.5.【答案】55【解析】由等差数列的性质得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，设，其公差为d且，，所以，所以的前20项和即为的前20项和，故为.6.【答案】21【解析】设该等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得.又因为数列为等差数列，，故.所以，当且仅当时，“=”成立.所以的最小值是21.