专题43相关点法确定圆的轨迹【方法点拨】1.双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求.2.建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式.3.消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程.【典型题示例】例1在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B，C是圆O：x2+y2=4上的两动点，且，若圆O上存在一点P使得（），则正数的取值范围是．【答案】[4，6]【分析】BC是定长弦，动中取静，直接取BC的中点为D，易求出点D的轨迹方程是x2+y2=1，再求另一动点P的轨迹方程，利用m的几何意义求出其取值范围.【解析】设BC的中点为D，则，故点D的轨迹方程是x2+y2=1∵D为BC的中点∴∴设，∴，故有又∵在圆O上∴，故有这里的几何意义是点到点A（3,4）的距离又∵点D的轨迹方程是x2+y2=1∴点到点A（3,4）距离的最大值是6，最小值是4∴的取值范围是[4，6].例2已知AB是圆O：x2+y2=2的一条弦，且，M是AB的中点，若动点P(t，t＋2)，Q(m，－2)，使得四边形PMOQ为平行四边形，则实数m的最大值是．【答案】－3【解析】易得点M的轨迹方程是∵四边形PMOQ为平行四边形∴设∴，又∵在圆上∴，可看作动点与动点距离的平方是∴实数m的最大值是－3．例3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y－1)2=1及点，设点P圆C上的一动点，在△ACP中，若∠ACP的平分线与AP相交于Q(m，n)，则的取值范围是．【答案】【解析】由角平分线性质定理得∴设∴，故有又∵在圆C上∴，即故点Q的轨迹是以为圆心为半径的圆∵的几何意义是点Q到坐标原点的距离∴的最大值、最小值分别是、故的取值范围是．【巩固训练】1.若点在圆上运动，点在轴上运动，定点，则的最小值为.2.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2eq\r(,11)．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得eq\o(PA,\d\fo1()\s\up7(→))＋eq\o(PB,\d\fo2()\s\up7(→))＝eq\o(OC,\d\fo2()\s\up7(→))，则实数a的值为．3.已知是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是．4.在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为________.5.已知点D为圆O：x2＋y2＝4的弦MN的中点，点A的坐标为(1，0)，且，则的最小值为．6.在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是．7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最小值是________．8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为．9.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝eq\r(3)，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围是．10.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹是．【答案或提示】1.【答案】3【解析】设的中点为，，则，所以∵点在圆上∴，即它表示以为圆心，为半径的圆∴∵为的中点∴故的最小值为3.2.【答案】2或-18【解析一】设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB＝2eq\r(11)，得CM＝eq\r(16－11)＝eq\r(5)，即点M的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因为eq\o(PA,\s\up7(―→))＋eq\o(PB,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))，所以eq\o(PM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(―→))，即(x0－x，y0－y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(a,2)))，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x－2，,y0＝y＋\f(a,2)，))则动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a,2)))2＝5，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则丨−4−a2丨−12+22＝eq\r(5)，解得a＝2或a＝－18.【解析二】由题意，圆心C到直线AB的距离d＝eq\r(16－11)＝eq\r(5)，则AB中点M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由eq\o(PA,\s\up7(―→))＋eq\o(PB,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))，得2eq\o(PM,\s\up7(―→))＝eq\o(OC,\s\up7(―→))，所以eq\o(PM,\s\up7(―→))∥eq\o(OC,\s\up7(―→)).如图，连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝2eq\r(5).故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝2eq\r(5)，所以点C到直线l的距离为丨2（−4−a2）丨−12+22＝2eq\r(5)，解得a＝2或a＝－18.3.【答案】 【解析】以点为坐标原点，为轴正半轴，使得落在第一象限，建立平面直角坐标系设，则由得：，故∵点在单位圆上∴即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆又，所以的最小值是．4.【答案】【分析】取中点为，连接，得到，由得到，再由、为圆上的两动点，且，得到，设，求出点的轨迹，再由点与圆位置关系，求出的取值范围，即可求出结果.【解析】取中点为，连接，则，又圆上存在点，使得，所以，因此，即；因为、为圆上的两动点，且，所以，设，则，即即为动点的轨迹；所以表示圆上的点与定点之间的距离，因此，即.即.故答案为：5.【答案】【解析】∵∴，设，则，即设（其中）则所以（当时，“=”成立）.6.【答案】7.【答案】8eq\r(2)－88.【答案】3eq\R(,2)9.【答案】10.【答案】圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))【解析】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2)))．由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)．从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3,y0＝y－4))．N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(点P在直线OM上的情况)．