极值点偏移问题【典型例题】例1.已知函数f(x)=lnx-ax，a是常数且a∈R．(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(-1,0)，求a的值；1(2)若02e．例2.已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)．(1)若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0相切，求实数a的值；11(2)若函数y=f(x)有两个零点x1，x2，证明+>2．lnx1lnx2ee例3.已知函数f(x)=x-(a-lnx)且f(e)=(其中e为自然对数的底数)．24(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)判断f(x)的单调性；(Ⅲ)若f(x)=k有两个不相等实根x1，x2，证明：x1+x2>2e．例4.已知函数f(x)=e2x-a(x-1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；x+x(2)若a>0，设f′(x)为f(x)的导函数，若函数f(x)有两个不同的零点x，x，求证：f′12<1220．1232例5.已知函数f(x)=x-(a+1)x+2(a-1)lnx，g(x)=-x+x+(4-2a)lnx．22(1)若a>1，讨论函数f(x)的单调性；f(x1)-f(x2)(2)是否存在实数a，对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，有+a>0恒成立，若存在，求出x1-x2a的范围，若不存在，请说明理由；(3)记h(x)=f(x)+g(x)，如果x1，x2是函数h(x)的两个零点，且x10．3例6.设函数f(x)=x2-alnx，g(x)=(a-2)x．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1，x2．(ⅰ)求满足条件的最小正整数a的值；x+x(ⅱ)求证：F′12>0．2例7.设函数f(x)=x2-alnx-(a-2)x．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；x+x(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x，x(1)求满足条件的最小正整数a的值；(2)求证：f12>0．122x12例8.已知函数f(x)=e-ax(a∈R)，其中e为自然对数的底数，e=2.71828⋯．f(x0)是函数f(x)的2极大值或极小值，则称x0为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．(1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)判断函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；(3)当函数f(x)有两个不相等的极值点x1和x2时，证明：x1x22e．(取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4)【同步练习】1.已知函数f(x)=lnx+2x-ax2，a∈R．(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+(a-4)x，试讨论函数g(x)的单调性；1(Ⅲ)当a=-2时，若存在正实数x，x满足f(x)+f(x)+3xx=x+x，求证：x+x>．121212121222.已知函数f(x)=lnx+x-ax2，a∈R．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)设g(x)=f(x)+(a-3)x，试讨论函数g(x)的单调性；1(3)当a=-2时，若存在正实数x，x满足f(x)+f(x)+3xx=0，求证：x+x>．1212121223.已知函数f(x)=x(1-lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；11(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+1时，f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2．6.已知函数f(x)=x-ea+x(a∈R)．(1)若a=1，求函数f(x)在x=0处的切线方程；(2)若f(x)有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：x1+x2>2．7.已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128⋯)．(1)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围；1(2)证明：当00时，求证：f(lna+x)>f(lna-x)；x+x(Ⅲ)已知f(x)有两个零点x，x(x．1212e