解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.正弦定理abc===2R.(其中R为ΔABC外接圆的半径)sinAsinBsinC⇔a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(边化角)abc⇔sinA=,sinB=,sinC=;(角化边)2R2R2R2.余弦定理：222cosA=b+c-a,2bca2=b2+c2-2bccosA,222a+c-b222cosB=2ac,⇒b=a+c-2accosB,222222a+b-cc=a+b-2abcosC.cosC=2ab.3.三角形面积公式：1111SΔABC=absinC=bcsinA=acsinB=a+b+crr为三角形ABC的内切圆半径22224.三角形内角和定理：CπA+B在△ABC中，有A+B+C=π⇔C=π-(A+B)⇔=-⇔2C=2π-2(A+B).2225.二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α1+cos2α=2cos2α升幂公式：1-cos2α=2sin2αcos2α=1(1+cos2α)降幂公式：221sinα=2(1-cos2α)2tanα③tan2α=.1−tan2α6.22basinx±bcosx=a+bsin(x±φ)，(其中tanφ=)；辅助角公式a求f(x)=Asin(ωx+φ)+B解析式A,B求法A+B=f(x)方法一：代数法max方法二：读图法B表示平衡位置；A表-A+B=f(x)min示振幅12πω求法方法一：图中读出周期T，利用T=求解；ω方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.φ求法方法一：将最高(低)点代入f(x)=Asin(ωx+φ)+B求解；方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入f(x)=Asin(ωx+φ)+B求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC中，D为CB的中点，2AD=AC+AB，然后再两边平方，转化成数量关系求解！(常用)8.角平分线如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c①等面积法11A1AS=S+S⇒AB×AC×sinA=AB×AD×sin+AC×AD×sin(常用)ΔABCΔABDΔADC22222②内角平分线定理：ABACABBD=或=BDDCACDCABS△ABD③边与面积的比值：=ACS△ADC9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)a+b①ab≤2②a2+b2≥2ab10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。【常用结论】①在ΔABC中，a>b⇔sinA>sinB⇔A>B;2π②sin2A=sin2B,则A=B或A+B=.2③在三角函数中，sinA>sinB⇔A>B不成立。但在三角形中，sinA>sinB⇔A>B成立二、三角函数与解三角形题型综合训练π1.(2023春·福建莆田·莆田一中校考阶段练习)已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<的2部分图象如图所示：(1)求方程fx=2的解集；ππ(2)求函数gx=fx--fx+的单调递增区间.121232.(2023春·宁夏吴忠·青铜峡市高级中学校考阶段练习)函数fx=Asinωx+φ(A，ω，φ为常数，且πA>0，ω>0，ϕ<)的部分图象如图所示．2(1)求函数fx的解析式及图中b的值；ππ(2)将fx的图象向左平移个单位后得到函数y=gx的图象，求gx在0,上的单调减区间.623.(2023春·湖北十堰·校联考阶段练习)已知函数fx=sinx-3cosx．π22π(1)若x∈0,，且函数fx=，求cos+x的值；2331π(2)若将函数fx图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单24π位长度，得到gx的图像，求函数gx在0,上的最小值．2424.(2023春·浙江宁波·余姚中学校考阶段练习)已知函数fx=sinxcosx-3cosx，将函数fx的图π象向左平移个单位长度，可得到函数gx的图象．4(1)求函数gx的表达式及单调递增区间；ππa2+13(2)当x∈,时，afx+gx≥-a+1恒成立，求正数a的取值范围．63225.(2023春·安徽滁州·安徽省滁州中学校考阶段练习)已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2-ab(1)求角C(2)若sinB三角形；(2)设△ABC的面积为S，若，S的值.在①7cosB=2cosC；②CA⋅CB=2S；③a2+b2=8c2三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.63210.(2022·全国·高三专题练习)在①sinAcosB+cosAsinB=；②x=cosC是函数fx=2x+x-121π的一个零点；③已知函数fx=sinx+，且fC=1.从三个条件中任选一个，补充在下面的问23题中，并加以解答：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且∠C为锐角.若，且c=2acosB，试判断△ABC的形状.11.(2022·全国·高三专题练习)随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，πAD⎳BC，A=，AD=20m，AB=BC=16m.3(1)求鹅卵石健康步道BD的长(单位：m)；(2)求绿化用地总面积(单位：m2).712.(2022·高三课时练习)如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=22，△ABC的面积为3.(1)求AC；(2)求∠ACD.13.(2023·全国·高三专题练习)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，B=30°(1)求b的值；(2)求sinC的值；1(3)若D为边BC上一点，且cos∠ADC=-，求BD的长.3814.(2022·高三课时练习)如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，∠BCD=∠BAE=∠CDE=120°，DE=11km，BC=CD=5km．(1)求BE的长；53(2)若sin∠ABE=，求五边形ABCDE的周长．1415.(2023·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c-bsinC=acosC-bsinB+acosBsinC.(1)求角A；(2)若H为△ABC的垂心，a=2，求△HBC面积的最大值.916.(2022·安徽黄山·统考一模)如图,已知△ABC外接圆的圆心O为坐标原点,且O在△ABC内部,2πA1,0,∠BOC=.37π(1)求∠AOB=,求AO⋅AB;12(2)求△ABC面积的最大值.17.(2023·高三课时练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足a2+c2=b2-ac．(1)求角B的大小；(2)若b=23，求△ABC的面积的最大值．1018.(2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形ABCD中，A,B,C,D四点共圆，3AB=5，BC=3，cos∠ABC=-．525(1)若sin∠ACD=，求AD的长；5(2)求四边形ABCD周长的最大值．19.(2022春·广东潮州·饶平县第二中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，已知asinB=3bcosA.(1)求角A；(2)若a=2，求△ABC周长的取值范围.1120.(2022秋·广东·高三统考阶段练习)在①m=2a-c,b，n=cosC,cosB，m⎳n；②bsinA=πacosB-；③a+ba-b=a-cc三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问6题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求∠B；(2)若b=2，求△ABC周长的取值范围.521.(2022春·安徽淮南·淮南市第五中学校考阶段练习)已知在△ABC中，B=45°,AC=10,cosC=.5(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长.1222.(2020秋·安徽·高三校联考阶段练习)在△ABC中，AB=3AC，AD为边BC上的中线，记∠CAD=2∠BAD=2a.(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)若AD=1，延长BC到点E，使得AE=13CE，求△ABE的面积.32222π23.(2023·全国·高三专题练习)已知在△ABC中，b=ab+bc-ac，C=．3(1)求A的大小；(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．33①△ABC周长为2+3；②a=1；③△ABC面积为；④c=2a41324.(2023春·湖南衡阳·衡阳市八中校考阶段练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sinA=3sin2C.(1)求cosC；37(2)若△ABC的面积为，求AB边上的中线CD的长.2141425.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数fx=cosx-sinxcosx-sinx．22(1)求fx的最小正周期及单调减区间；A22(2)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f=-，BC边上的中线AD=2，求b22+c2的最大值．1426.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且sinC=3sinA．(1)求cosC；(2)若角B的角平分线交AC于点D，BD=2，求△ABC的面积．27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=23，sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B，(1)求角B的大小；(2)若AD是ÐBAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．1528.(2023春·陕西西安·西北工业大学附属中学校考阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．在①tanA+tanC-3=-3tanAtanC；②2S△ABC=-3BA⋅BC；π③bco