专题10相似三角形的常见模型“A”字模型1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（ ）  A．24 B．12 C．6 D．102．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则3.（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．“8”字模型4．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8 B．10 C．12 D．145.（2023·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（    ）A． B． C． D．6.（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．7．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在中，于，于，试说明：（1）（2）“母子型”相似模型8.（2022·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．9.（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为．10（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．旋转相似模型11.（2021·江苏无锡·九年级校考期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（    ）A．6 B． C．10 D．12.（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．“K”字模型14.（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．15．（2021秋·江苏苏州·九年级统考阶段练习）一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，若顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，则点的坐标为.16.（2023春·浙江台州·九年级校考期中）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）一、单选题1．（2021·山东滨州·统考中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（    ）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（  ）A．先变长后变短 B．先变短后变长C．不变 D．先变短后变长再变短3．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2020·四川眉山·统考中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）A．个 B．个 C．个 D．个5．（2021秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（    ）A．6 B． C． D．二、填空题6．（2021秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）7．（2023春·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝．8．（2020春·江苏苏州·八年级统考期中）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．三、解答题9．（2021秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B．（1）求ABC的面积；（2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值；（3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2020秋·湖南常德·九年级校考期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．11．（2019春·浙江杭州·九年级期中）已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设．（1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；（2）当是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由．