专题08动量定理和动量守恒定律1.动量：；（动量是矢量，它的方向与速度方向相同）2.动量与动能关系式：或；3.冲量：；4.动量定理：；5.动量守恒定律：，，；在解有关动量定理和动量守恒定律的计算题时：首先选取研究对象，一般情况下可选取单个物体，也可以选取两个或多个物体组成的系统为研究对象；其次，在研究过程中，要选定正方向，进而分析运动的初、末状态；再次，分段或全程对研究对象进行受力分析，针对系统的受力分析，要弄清系统的内力和外力，判断其是否满足动量守恒条件。最后，根据动量定理或动量守恒定律，列出方程求解。一、动量定理1.动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统。对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力。系统内力的作用不改变整个系统的总动量。2.用牛顿第二定律和运动学公式能求解恒力作用下的匀变速直线运动的间题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。 但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力。对于变力，动量定理中的F应当理解为变力在作用时间内的平均值。3.用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定哪个量变化搞清楚。4.应用求变力的冲量：如果物体受到变力作用，则不直接用求变力的冲量，这时可以求出该力作用下的物体动量的变化，等效代换变力的冲量I。5.应用求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动中物体速度方向时刻在改变，求动量变化需要应用矢量运算方法，比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。二、应用动量守恒定律列方程时应注意以下四点1.矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负。若方向未知，可设正方向列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向。2.瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定。列方程时，等号左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等号右侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和。不同时刻的动量不能相加。3.相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系。4.普适性：它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，对微观粒子组成的系统也适用。 如果相互作用的物体所受外力之和不为零，外力也不远小于内力，系统总动量就不守恒，也不能近似认为守恒，但是，只要在某一方向上合外力的分量为零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒。三、平均动量守恒 若系统在全过程中的动量守恒(包括单方向动量守恒)，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒，如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由动量守恒定律，，得推论：。使用时应明确必须是相对同一参照物位移的大小。常见的“人船模型”或叫“人车模型”符合此特点。四、运用各种力学规律解题的注意事项：1.使用牛顿运动定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，明确并建立力和加速度及运动与加速度的关系。2.使用动量定理的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，选取正方向，明确合外力的冲量及初、末动量的正负。3.使用动能定理的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，明确哪些力做功，哪些力不做功，哪些力做正功，哪些力做负功及动能的变化。4.使用动量守恒定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，判断是否符合动量守恒的适用情况和适用条件。5.使用机械能守恒定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，判断是否符合机械能守恒的适用情况和适用条件。6.使用能量守恒定律的关键是：确定研究对象，做好受力分析和过程分析，明确有哪些力做功，做功的结果是导致什么能向什么能转化，然后建立的关系。典例1：（2022·北京·高考真题）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。【答案】（1）；（2），方向与水平方向夹角；（3）【规范答题】（1）设排球在空中飞行的时间为t，则解得；则排球在空中飞行的水平距离（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小得；根据得；设速度方向与水平方向夹角为（如答图所示）则有（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小典例2：（2022·湖南·高考真题）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的倍（为常数且），且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度大小为g。（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；（2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图（b）所示，其中已知，求的大小；（3）篮球从H高度处由静止下落后，每次反弹至最高点时，运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，经过N次拍击后篮球恰好反弹至H高度处，求冲量I的大小。【答案】（1）；（2）；（3）【规范答题】（1）篮球下降过程中根据牛顿第二定律有再根据匀变速直线运动的公式，下落的过程中有篮球反弹后上升过程中根据牛顿第二定律有再根据匀变速直线运动的公式，上升的过程中有则篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比（2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，则篮球下落过程中根据动能定理有篮球反弹后上升过程中根据动能定理有联立解得（3）方法一：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为（方向向下）（方向向下）由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有即每拍击一次篮球将给它一个速度v。拍击第1次下降过程有上升过程有代入k后，下降过程有上升过程有联立有拍击第2次，同理代入k后，下降过程有上升过程有联立有再将h1代入h2有拍击第3次，同理代入k后，下降过程有上升过程有联立有再将h2代入h3有直到拍击第N次，同理代入k后，下降过程有上升过程有联立有将hN-1代入hN有其中，则有则方法二：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为（方向向下）（方向向下）由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有即每拍击一次篮球将给它一个速度v’。设篮球从H下落时，速度为，反弹高度为，篮球受到冲量I后速度为v’，落地时速度为，则，联立可得代入k可得，……①篮球再次反弹，反弹速度为k，设反弹高度为h1，受到冲量后，落地速度为v2，同理可得，同理化简可得……②篮球第三次反弹，反弹速度为k，设反弹高度为h2，受到冲量后，落地速度为v3，同理可得，同理化简可得……③……第N次反弹可得……（N）对式子①②③……(N)两侧分别乘以、、……、，再相加可得得其中，，，可得可得冲量I的大小典例3：（2022·安徽淮北·二模）我国自主研制的“奋斗者”号潜水器成功下潜突破万米，给世界带来巨大的震撼。某次潜水器完成作业后，以的速度匀速上浮到达离海面处时，在极短的时间内以的速度竖直向下抛出一质量为的载重，然后加速至最大速度后匀速运行，距水面距离较近时关闭发动机，减速至水面时速度恰好为零。设潜水器抛载后体积、发动机推动力、海水阻力均不变。已知潜水器抛载前总质量为，体积为，海水密度取。潜水器上浮过程受到海水的阻力为，重力加速度可视为常量，大小取。求：（1）潜水器抛载后获得的速度和加速度大小；（2）潜水器从抛载到浮出水面所需的时间。【答案】（1），；（2）【规范答题】（1）设潜水器抛载前总质量为，抛载后总质量为，抛出的载重为，潜水器抛载过程满足动量守恒，则有其中，，，解得抛载后潜水器的速度为抛载前潜水器匀速运动，受力平衡，则有其中解得抛载后潜水器的加速度为解得（2）潜水器做匀加速直线运动至最大速度所需时间和位移为关闭发动机后潜水器做匀减速直线运动的加速度大小为做匀减速直线运动至海面的时间和位移为潜水器以最大速度做匀速直线运动的位移和时间为潜水器从抛载到浮出水面所需的时间为典例4：（2022·陕西·西安中学二模）某游戏装置可以简化为如图所示：游客乘坐滑椅（可视为质点）从固定光滑圆弧轨道上的B点处无初速滑下后冲上静止在光滑水平面上的滑板A．已知游客与滑椅的质量为m，滑板A的质量为2m，滑椅与滑板间的动摩擦因数为μ，滑板A足够长，滑椅不会从滑板表面滑出，圆弧轨道的半径为R，O点为圆弧轨道的圆心，，重力加速度为g，求：（1）滑椅滑到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小；（2）滑椅滑上A后经多长时间不再相对A滑动；（3）若滑块A至少多长才能满足要求。【答案】（1）2mg；（2）；（3）【规范答题】（1）设滑椅滑到圆弧轨道最低点时速度为，由动能定理有在圆弧轨道最低点时，有联立解得由牛顿第三定律可知，滑椅对轨道的压力大小为2mg（2）滑板A右端与固定挡板Q碰撞前瞬间，设游客与滑椅的速度为v1，滑板A的速度为v2，由动量守恒定律有对滑板A，由量定理解得（3）设滑板长度至少为x，由功能关系解得1．（2022·江苏扬州·模拟）如图所示，圆环用细线a悬挂着，将两个质量均为m的有孔小球套在此环上，两球间用细绳b连接，。剪断细绳b后两小球可在环上无摩擦的滑动，两球碰后粘在一起，圆环始终静止，重力加速度为g。试求：（1）细绳b剪断前后瞬间圆环对A球的作用力大小、；（2）碰撞过程A球对B球所做的功W；（3）圆环能始终静止，其质量M至少多大？（结果用小球质量m表示）【答案】（1）、；（2）；（3）【规范答题】（1）剪断细绳b之前，对A受力分析解得剪断细绳b后瞬间，对A受力分析解得（2）小球同时下滑到最低点，速度大小相等，方向相反，由动量守恒定律得两球碰后速度为零。解得由动能定理得解得（从静止下滑到碰后速度为零，由动能定理得，解得）（3）小球做圆周运动，与竖直方向夹角为时。此过程中，由机械能守恒定律得由得对圆环受力分析解得当时，T有最小值由得2．（2022·广东·模拟）滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可以在不同的轨道上滑行。如图所示，轨道位于竖直平面内，其中BC和DE为半径和的两段圆弧轨道，BC的圆心为O点，圆心角，DE的圆心为点，D点在点正下方，CD为水平轨道，C、D处与圆弧轨道平滑连接；滑板a和b的质量均为，运动员的质量。某时刻，运动员踩在滑板a上，先从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿着轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，滑上CD轨道后，运动员从滑板a跳到静止放置在水平轨道上的滑板b上，并一起向前继续滑动，跳后滑板a则以的速度返回，然后撤掉。运动员和滑板b经CD轨道后冲上DE轨道。滑板和运动员均可视为质点，运动员调整过程中无机械能增加，不计一切阻力，重力加速度取，求：（1）运动员到达B点的速度大小；（2）运动员在D点对滑板b的压力大小。【答案】（1）6m/s；（2）1098N【规范答题】（1）运动员从A点运动到B点的过程中，做平抛运动，到达B点时，其速度沿B点的切线方向，根据几何关系可知，运动员到达B点的速度为（2）从B到C，由动能定理得解得运动员跳离滑板a，运动员和滑板a动量守恒，有运动员跳上滑板b，运动员和滑板b动量守恒，