专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减；(2)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数．注意：1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一 不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为－eq\f(1,2)，－eq\f(1,6)，1，eq\f(4,3)，则函数y＝eq\f(f(x),ex)的单调递减区间是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(4,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))) D．(1，2)(2)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是( )(3)函数f(x)＝x2＋xsinx的图象大致为( )(4)函数f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的单调递增区间是________；单调递减区间是________．(5)设函数f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(6)函数y＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为( )A．(－1，1) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)(7)设函数f(x)＝2(x2－x)lnx－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)(8)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为．(9)函数f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的单调递增区间为( )A．[－eq\f(π,2)，－eq\f(π,6)]和[0，eq\f(π,6)] B．[－eq\f(π,6)，0]和[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)] C．[－eq\f(π,2)，－eq\f(π,6)]和[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)] D．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)](10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx[例2] 已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋k,ex)(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【对点训练】1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2，1)上f(x)单调递增 B．在区间(1，3)上f(x)单调递减C．在区间(4，5)上f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上f(x)单调递增2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 3．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是( ) 4．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－12；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2．则函数f(x)的大致图象是( )5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( ) 6．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( ) A B C D7．函数y＝4x2＋eq\f(1,x)的单调递增区间为( )A．(0，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C．(－∞，－1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))8．函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为．9．函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为，单调递减区间为．10．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是( )A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1)11．函数y＝x＋eq\f(3,x)＋2lnx的单调递减区间是( )A．(－3，1) B．(0，1) C．(－1，3) D．(0，3)12．函数f(x)＝xlnx＋x的单调递增区间是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(e),e)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(e),e)))13．已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(1，＋∞) B．(0，1)和(2，＋∞) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞) D．(1，2)14．函数f(x)＝eq\f(x,lnx)的单调递减区间是________．15．函数f(x)＝excosx的单调递增区间为________．16．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间上单调递增( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) B．(π，2π) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(5π,2))) D．(2π，3π)17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间为________．18．(多选)若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数不具有M性质的为( )A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝sinx D．f(x)＝x19．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋x2．(1)求曲线f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))))处的切线方程；(2)讨论函数y＝f(x)ex的单调性．20．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．考点二 比较大小或解不等式【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))，f(1)，f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))的大小关系为( )A．f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f(1)>f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5))) B．f(1)>f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5))) C．f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))>f(1)>f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) D．f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))>f(1)(3)已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝xf(x)，则( )A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞g(2－eq\f(3,2))＞g(2－eq\f(2,3)) B．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞g(2－eq\f(2,3))＞g(2－eq\f(3,2))C．g(2－eq\f(3,2))＞g(2－eq\f(2,3))＞geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4))) D．g(2－eq\f(2,3))＞g(2－eq\f(3,2))＞geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))(4)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足eq\f(1－x,f′(x))≤0，则必有( )A．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)(5)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为．(6)设函数f(x)为奇函数，且当x≥0