考向27空间点、直线、平面之间的位置关系1.（2022年甲卷理7文9）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则A． B．与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为【答案】D【解析】与平面即，与平面即，则，设，则，由长方体对角线长公式，得，从而，，与平面所成的角的正弦值为，，与平面所成的角的正弦值为．2.（2022年乙卷理7文9）在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】对于A选项：在正方体中，因为EF分别为AB，BC的中点，易知，从而平面，又因为平面，所以平面平面，所以A选项正确；对于B选项：因为平面平面,由上述过程易知平面平面不成立；对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面平面有公共点，从而C选项错误；对于D选项：连接，，，易知平面平面，又因为平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，所以D选项错误.3.（2022年新高考1卷第9题）已知正方体，则A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】在正方体中，因为，，所以平面，所以，，故选项A，B均正确；设，因为平面，所以直线与平面所成的角为，在直角中，，故，故选项C错误；直线与平面所成的角为，故选项D正确．综上，答案选ABD．(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．（3）求异面直线所成角=1\*GB3\*MERGEFORMAT①平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。=2\*GB3\*MERGEFORMAT②利用模型求异面直线所成的角已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ=cosθ1·cosθ2。=3\*GB3\*MERGEFORMAT③向量法求异面直线所成的角 1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．一、单选题1．正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面，则；在正方体中，易证平面，故，所以，即与所成角的大小为.故选:.2．如图，直三棱柱中，，若，则异面直线所成角的大小是（    ）A． B． C． D．【解析】如图所示，连接,即为异面直线所成角，又，在中，是正三角形故选：C3．设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中为真命题的是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①中，，则平面与平面可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；②中，，直线与直线可能平行，异面或者垂直，故②错误；③中，，则，故，故③正确；④中，，则，故④正确.故选：C.4．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ）．A．直线 B．直线C．直线 D．直线．【答案】A【解析】如图，易知，所以，且，所以为梯形，故与EF相交，A正确；因为，所以，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A5．已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．故选：C．6．已知是两条不同的直线，是平面，且，则（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】依题意，A选项，若，则可能，所以A选项错误.B选项，若，则与可能相交、异面、平行，所以B选项错误.C选项，若，则可能，所以C选项错误.D选项，由于，所以平面内存在直线，满足，若，则，则，所以D选项正确.故选：D7．如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（    ）A．点P B．点B C．点R D．点Q【答案】D【解析】如图连接，因为分别为的中点，所以,∥，所以四边形为平行四边形，所以∥,因为∥，所以∥，所以四点共面，所以与相交，所以点与点不可视，所以排除A，因为∥，所以共面，所以由图可知与相交，与相交，所以点，点都与点不可视，所以排除BC，故选：D8．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【答案】B【解析】对于A，若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故错误；对于B，若l∥α，l⊥β，根据线面平行的性质定理可知，α内一定存在和l平行的直线m，则m也垂直于β，由线面垂直的判定定理可知α⊥β，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在β内，故错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l可能和β平行，故错误，故选：B二、多选题9．已知空间中是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（    ）A．B．C．与异面D．【答案】BCD【解析】A：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确；B：由，可得或者，故B错误；C：由，，可得与异面或，故C错误；D：由，，，当时，不能得到，只有当时，才可以得到，故D错误.故选：BCD10．如图，若为正六棱台，，，则下列说法正确的是（    ）A．B．平面C．平面D．侧棱与底面所成的角为【答案】BCD【解析】对于A选项，因为与平行，与异面，故A错误；对于B选项，连接，,因为六棱台是正六棱台，所以平面,平面,故,又因为底面是正六边形，所以,平面，平面,所以平面，即平面，故B正确；对于C选项，设与交于点，因为，，所以，，又，所以，即，又，所以是平行四边形，，平面,平面,所以平面，故C正确；对于D选项，平面,平面为侧棱与底面所成的角，在中,，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】如图所示，设分别为和的中点，可得，，且，所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，作的中点为，则为直角三角形，因为，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成的角的余弦值为.故答案为：.12．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，若，则侧面四边形为正方形，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】如图所示，取的中点，连接，，则，则为异面直线与所成的角（或补角），因为是边长为2的等边三角形，所以，又因为，所以，则，，又由四边形为正方形，所以，所以.故答案为：.13．在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.【答案】【解析】取的中点，连接，，∵且为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，则直线PC与平面ABCE所成角为，即，所以.故答案为：．14．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，给出下列四个命题：①上底边的中点在平面内②直线与平面不平行③平面截正方体所得的截面面积为④点与点到平面的距离相等．错误的命题是________．【答案】①②④【解析】在①中，如图所示，连接，，延长，交于点，因为，为，的中点，所以，，所以，所以，，，四点共面，所以截面即为梯形，所以上底边的中点不在平面内，故①错误；在②中，如图所示，取的中点，连接，，由条件可知，，且，，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故②错误；在③中，由①可知，因为，，所以，所以，故③正确；在④中，记点与点到平面的距离分别为，，因为，所以，又因为，所以，故④错误．故答案为：①②④.一、单选题1．（2022·浙江·模拟预测）现有边长为的正四面体，其中点M为的重心，点N，H分别为，中点．下列说法正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵正四面体，点M为的重心，∴M为等边的中心，∴面，面，∴.直线与交于点A，故AN不与DM垂直，故排除A；延长DM交BC于点G，则G为BC中点，连接AG，如图所示，边长为，在中可得，由，，，.故B正确，C错误；在中，H，M分别为NA，NG的中点，∴，又∵，∴HM不与AB平行，故D错误.故选：B.2．（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）.（1）、都垂直于平面r，那么∥.（2）、都平行于平面r，那么∥.（3）、都垂直于直线l，那么∥.（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D3．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，已知正方体的棱长为，则下列结论中正确的是（    ）①若是直线上的动点，则平面②若是直线上的动点，则三棱锥的体积为定值③平面与平面所成的锐二面角的大小为④若是直线上的动点，则A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】对于①，连接，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面，平面平面，若是直线上的动点，则平面，平面，①正确；对于②，由①知，平面，，②正确；对于③，连接，交于点，连接，平面平面，平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角，四边形为正方形，，为中点，又，，即为平面与平面所成的锐二面角的平面角，，，即平面与平面所成的锐二面角不为，③错误；对于④，四边形为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面；若是直线上的动点，则平面，，④正确.故选：C.4．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下图所示：在三棱锥中，平面，且，，因为平面，、、平面，则，，，，，平面，平面，，所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且，，设线段的中点为，则，所以，点为三棱锥的外接球球心，设球的半径为，则，因此，球的表面积为.故选：A.5．（2022·河南·模拟预测（文））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是（