考向11构造函数法比较大小【2022年新高考1卷第7题】设，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】解法1：根据题意，构造函数，，，对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开在时，显然即，即选C．解法2：设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以。故选：C.【2022年甲卷理第12题】已知，，，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】解法1：根据题意，构造函数对上述三个函数在处进行四阶泰勒展开在时，显然即，即选A．解法2：构造函数，，则，所以，因此，在上递减，所以，即．另一方面，，显然时，，所以，即．因此．即选A．此类涉及到已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．构造函数的考虑方向，主要是利用和、差函数求导法则构造函数:①对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0(，构造函数F(x)=f(x)+g(x)；②对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0(，构造函数F(x(=f(x)-g(x)；③特别地，对于不等式f(x)>k(或构造函数F(x)=f(x)-kx.1．下列命题为真命题的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A选项，构造函数，所以在区间上，递减，在上，递增.所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即.所以A选项正确.对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.对于C选项，当时，，所以C选项不正确.对于D选项，当时，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.故选：A2．已知，则的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先用导数证明这两个重要的不等式①，当且仅当时取“=”，，，函数递减，函数递增故时函数取得最小值为0，故，当且仅当时取“=”②，当且仅当时取“=”，，，函数递增，函数递减，故时函数取得最大值为0，故，当且仅当时取“=”故，故选：C3．已知是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，，，，正确的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】构造函数，，所以在区间上，递增；在区间上递减，由于，所以，所以：，，，所以不等式正确的个数为.故选：D4．当时，，则下列大小关系正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据得到，而，所以根据对数函数的单调性可知时，，从而可得，函数单调递增，所以，而，所以有.故选D.【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．5．“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】令函数，当时，，所以函数在区间上单调递增，则，即，故充分；但是反之未必成立，比如取，易知，满足，但是不满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】方法点睛：充分条件和必要条件的三种判断方法：①定义法，即根据，进行判断；②集合法，即由，成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法，即根据一个命题与其逆否命题真假的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题，再进行判断．6．若，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.1．（2021·江西·模拟预测（理））若正实数，满足，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【详解】先证明熟知的结论：恒成立，且当且仅当时取等号.设,则,在(0,1)上，,单调递减;在(1,+∞)上，,单调递增.故,∴恒成立，且当且仅当时取等号.由,由已知，∴，且，解得,经检验只有B正确，故选：B.【点睛】本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论恒成立，且当且仅当时取等号进行研究，得到，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和取等号的条件，才能列出方程组求得的值.2．（2022·全国·模拟预测）已知实数a，b，c满足，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式可得.3．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】当，又，所以，故记，所以，令，得，令，得，所以在单调递减，在单调递增.所以，即，当时取等号.所以，所以.故选：C.4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵（当时等号成立），∴，当时，，即，则，，整理得，即，即，，，，将个不等式相加得，即，，令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，即在出取得最大值，，所以（当时等号成立），当时，（当时等号成立），即当时，，，，，，即，同理利用累加法可得，即，所以，则，故选：.5．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）下列大小比较中，错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于选项D,构造函数，所以，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以.（当且仅当时取等）则令，则，化简得，故，故，故，所以选项D错误；对于选项A，，在中，令，则，化简得，故，所以.所以，所以选项A正确；对于选项B,在中，令，则，所以，所以选项B正确；对于选项C,所以，所以选项C正确.故选：D6．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由，，得，，，构造函数，求导得，令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．因为，所以，所以，又因为，在上单调递减，所以.故选：A．7．（2021·浙江·模拟预测）已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，且，可得，即，令，则，所以，所以在上单调递增，对于选项A：由可得，即，故选项A正确；对于选项B：由可得，即，得不出，故选项B不正确；对于选项C：由可得，即，因为，所以，可得，故选项C正确；对于选项D：由可得，即，故选项D正确；所以不一定正确的是选项B，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数，并根据单调性比较大小.二、多选题8．（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABCD【详解】A：构造新函数，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为：，即，因此本选项不等式成立；B：构造新函数，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为：，即，因此本选项不等式成立；C：设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为：，即，因此本选项不等式成立；D：设，因为，所以单调递减，所以当时，有，即，因此本选项不等式成立，故选：ABCD9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）A．a2＞ab B．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）C． D．a+cosb＞b+cosa【答案】ABC【详解】A:∵a＜b＜0，∴a2＞ab，∴A正确，B:∵a＜b＜0，1﹣a＞1﹣b，∴ln（1﹣a）＞ln（1﹣b），∴B正确，C:∵a＜b＜0，∴，∴，∴C正确，D:设f（x）＝x﹣cosx，则＝1+sinx≥0，∴f（x）在R上为增函数，∵a＜b＜0，∴a﹣cosa＜b﹣cosb，a+cosb＜b+cosa，∴D错误．故选：ABC．10．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】令，由，当时，故在上递减，所以，则A错，B正确；令，由，当时有，当时有，所以存在，有，所以在上不单调，在C中，化为，因为，故C错，在D，化为，则D错，故选：ACD1.（2021年全国乙卷理第12题）设，，，则A. B.C.D.【答案】B【解析】根据解法1：题意，显然,构造函数对上述两个函数在处进行四阶泰勒展开，在时，显然即，即选B．解法2：显然,令，则，因为当时，，所以，即，所以，所以，即.同理，令，则，因为当时，，所以，所以，即，综上，选B.2．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 ( )(A)(B)(C)(D)【答案】C 【解析】对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B： 由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此又由得，∴，C正确对D： 要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故又由得，∴，D错误故选C．3．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ( )A． B．C． D．【答案】A解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．4．（2015新课标Ⅰ理12）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知存在唯一的整数，使得，设，，由，可知在上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图所示，故，即，所以．