1991年江西高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1)已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ()(A)(B)(C)(D)(2)焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ()(A)y2=8(x+1)(B)y2=－8(x+1)(C)y2=8(x－1) (D)y2=－8(x－1)(3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ()(A)(B)π(C)2π(D)4π(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对(5)函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ()(A)x=－(B)x=－(C)(D)(6)如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(7)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为 ()(A)（0，0），（6，π）(B)(－3，0)，(3，0)(C)（0，0），（3，0）(D)(0，0)，(6，0)(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ()(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种(10)如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 ()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(11)设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ()(A)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12)…(1－)]的值等于 ()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 ()(A)增函数且最小值为－5(B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5(D)减函数且最大值为－5(14)圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(15)设全集为R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M={x|f(x)≠0}，N={x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于 ()(A)(B)(C)(D)二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16)arctg+arctg的值是____________(17)不等式<1的解集是___________(18)已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19)(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那么a=(20)在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21)(本小题满分8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．(22)(本小题满分8分)已知复数z=1＋i,求复数的模和辐角的主值．(23)(本小题满分10分)已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．(24)(本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．(25)(本小题满分12分)已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式logax－logx＋12logx＋…＋n(n－2)logx>log(x2－a)(26)(本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．参考答案说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A (8)D(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B (14)C(15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16)(17){x|－20；——6分当x1x2≥0时，有>0；∴f(x2)－f(x1)=(x1－x2)()<0．——8分即f(x2)0．又∵x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2∴>0，∴f(x2)－f(x1)=(x1－x2)()<0．——8分即f(x2)loga(x2－a)．①当n为奇数时，>0，不等式①等价于logax>loga(x2－a)．②因为a>1，②式等价于——6分因为<0，>=，所以，不等式②的解集为{x|loga(x2－a)．③因为a>1，③式等价于或——10分因为——12分所以，不等式③的解集为{x|x>}．综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}(26)本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为=1．依题意知，点P，Q的坐标满足方程组①②将②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③——3分设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．根据根与系数的关系，有④⑤——6分由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P(x1，(x1－c))，Q(x2，(x2－c))．由OP⊥OQ得·=－1，整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0． ⑥将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得3a4+8a2b2－3b4=0，(a2+3b2)(3a2－b2)=0．因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以c==2a．——8分由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42．整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1．——10分将a2=1代入b2=3a2 得 b2=3．故所求双曲线方程为x2－=1．——12分解法二：④式以上同解法一．——4分解方程③得x1=，x2=④——6分由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P(x1，(x1－c))，Q(x2，(x2－c))．由OP⊥OQ，得x1x2＋(x1－c)·(x2－c)=0．⑤将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0，即(a2+3b2)(3a2－b2)=0．因a2+3b2≠0，解得b2=3a2．——8分由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42．即 (x2－x1)2=10． ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b2－3a2)2－16a2b4=0．——10分将b2=3a2代入上式，得a2=1，将a2=1代入b2=3a2得b2=3．故所求双曲线方程为x2－=1．——12分