2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则()A．C．D.2．“”是“”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．已条变量满足则的最小值是()A．4B.3C.2D.14.函数的反函数是()5.已知直线m,n和平面满足,则()或或6．下面不等式成立的是()A．B．C．D．7．在中，AB=3，AC=2，BC=，则()A．B．C．D．8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15B．45C．60D．759．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，，则顶点A、B间的球面距离是()A．B．C．D．210．若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是()A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。11．已知向量，，则||=_____________________.12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。13．记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.14．将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.15．设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,定义则________;当时，函数的值域是_________________________。三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。17．（本小题满分12分）已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。18．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P的大小。19（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。20．（本小题满分13分）数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，，，求使的所有k的值，并说明理由。21．（本小题满分13分）已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则()A．C．D.【答案】B【解析】由，，，易知B正确.2．“”是“”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得，所以易知选A.3．已条变量满足则的最小值是()A．4B.3C.2D.1【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最小值是故选C.4.函数的反函数是()【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。5.已知直线m,n和平面满足,则()或或【答案】D【解析】易知D正确.6．下面不等式成立的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由,故选A.7．在中，AB=3，AC=2，BC=，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15B．45C．60D．75【答案】C【解析】用直接法：或用间接法：故选Ｃ.9．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，，则顶点A、B间的球面距离是()A．B．C．D．2【答案】B【解析】设则故选Ｂ.10．若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】而双曲线的离心率故选Ｃ.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。11．已知向量，，则||=_____________________.【答案】２【解析】由12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。【答案】60【解析】由上表得13．记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.【答案】5【解析】由得所以解得14．将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.【答案】,【解析】易得圆C的方程是,直线的倾斜角为,所以直线的斜率为15．设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,定义则________;当时，函数的值域是_________________________。【答案】【解析】当时，当时，所以故函数的值域是.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，且（I）至少有一人面试合格的概率是（II）没有人签约的概率为17．（本小题满分12分）已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。解：由题设有．（I）函数的最小正周期是（II）由得即因为,所以从而于是18．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P的大小。解：解法一（I）如图所示,连结由是菱形且知，是等边三角形.因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在中,．故二面角的大小为解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知设是平面PBE的一个法向量,则由得所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,．故二面角的大小为19（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（I）设椭圆的方程为由条件知且所以故椭圆的方程是（II）依题意,直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是设点关于直线的对称点为则解得因为点在椭圆上，所以即设则因为所以于是,当且仅当上述方程存在正实根,即直线存在.解得所以即的取值范围是20．（本小题满分13分）数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，，，求使的所有k的值，并说明理由。解：（I）因为所以一般地,当时，即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（II）由（I）知，于是.下面证明:当时，事实上,当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.21．（本小题满分13分）已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。解：（I）因为函数有三个极值点,所以有三个互异的实根.设则当时，在上为增函数;当时，在上为减函数;当时，在上为增函数;所以函数在时取极大值,在时取极小值.当或时,最多只有两个不同实根.因为有三个不同实根,所以且.即,且,解得且故.（II）由（I）的证明可知，当时,有三个极值点.不妨设为（），则所以的单调递减区间是,若在区间上单调递减，则,或,若,则.由（I）知，,于是若,则且.由（I）知，又当时，;当时，.因此,当时，所以且即故或反之,当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述,的取值范围是.