2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则A．B．C．D．2．命题“若，则”的逆否命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是ABCD4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为kg5．已知双曲线的焦距为10，点在C的渐近线上，则C的方程为A．B．C．D．6．函数的值域为A．B．C．D．7．在中，，，，则A．B．C．D．8．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于点．记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为．当m变化时，的最小值为A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数）与曲线（为参数，）有一个公共点在轴上，则．10．不等式的解集为．11．如图2，过点的直线与⊙相交于两点．若，，，则⊙的半径等于．（二）必做题（12～16题）12．已知复数（为虚数单位)，则．13．的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）14．如果执行如图3所示的程序框图，输入，则输出的数．15．函数的导函数的部分图象如图4所示，其中，为图象与轴的交点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点．（1）若，点的坐标为，则；（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为．16．设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换．将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到．例如，当时，，此时位于中的第4个位置．（1）当时，位于中的第个位置；（2）当时，位于中的第个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定的值，并求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率．（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积．19．（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，记，，，（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）．（Ⅰ）设生产A部件的人数为，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值.22．（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）若对一切，恒成立，求的取值集合.（Ⅱ）在函数的图像上取定两点，记直线的斜率为.问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}【答案】B【解析】M={-1,0,1}M∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出,再利用交集定义得出M∩N.2.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=【答案】C【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5.已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]【答案】A【解析】设双曲线C：-=1的半焦距为，则.又C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，，即.又，，C的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6.函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为A．[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]【答案】B【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，，值域为[-,].【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.7.在△ABC中，AB=2，AC=3，=1则.[中&%国教*^育出版~网]A.B.C.D.【答案】A【解析】由下图知..又由余弦定理知，解得.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.8．已知两条直线：y=m和：y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B，与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为[来源%&:中国~*教育#出版网]A．B.C.D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，由=m，得，=，得.依照题意得.，.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy中，已知曲线：(t为参数)与曲线：(为参数，)有一个公共点在X轴上，则.【答案】【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；曲线：直角坐标方程为，其与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.【答案】【解析】令，则由得的解集为.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______.【答案】【解析】设交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知，从而求得圆的半径.(二)必做题（12~16题）12.已知复数(i为虚数单位)，则|z|=_____.【答案】10【解析】=，.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用求得.13.(-)6的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）【答案】-160【解析】(-)6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14.如果执行如图3所示的程序框图，输入,n=3,则输出的数S=.【答案】【解析】输入,n=3,，执行过程如下：；；，所以输出的是.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f（x）=sin()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.（1）若，点P的坐标为（0，），则;（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为.【答案】（1）3；（2）（lbylfx）【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时；（2）由图知，，设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为.【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16.设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）当N=16时,,可设为,,即为,,即,x7位于P2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于