绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3i1.（）1iA．12iB．12iC．2iD．2i22.设集合A1,2,4，xx4xm0．若A1，则（）A．1,3B．1,0C．1,3D．1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90B．63C．42D．3612x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（）y30A．15B．9C．1D．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（）A．2B．3C．4D．5开始输入aS=0，K=1否K6是S=S+aKa=-aK=K+1输出S开始22xy29.若双曲线C:1（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所截得的弦长为2，则a2b2C的离心率为（）23A．2B．3C．2D．310.已知直三棱柱ACA11C1中，AC120，A2，CCC11，则异面直线A1与C1所成角的余弦值为（）315103A．B．C．D．255311.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1`的极值点，则f(x)的极小值为（）A.1B.2e3C.5e3D.1212.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（）34A.2B.C.D.123二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D．314.函数fxsin2x3cosx（x0,）的最大值是．42n1等差数列的前项和为，，，则．15.annSna33S410k1Sk16.已知F是抛物线C:y28x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）BABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin2．2(1)求cosB(2)若ac6,ABC面积为2,求b.18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：频率/组距频率/组距0.0680.0400.0460.0340.0440.0320.0240.0200.0140.0120.0200.0100.0080253035404550556065700.004箱产量/kg03540455055606570旧养殖法箱产量/kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱3产量不低于50kg,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P（퐾2≥푘）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n(adbc)2K2(ab)(cd)(ac)(bd)19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，1ABBCAD,BADABC90o,E是PD的中点.2（1）证明：直线CE//平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D的余弦值PMEADBC20.（12分）x2设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NP2NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数f(x)ax3axxlnx,且f(x)0.（1）求a；423（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且ef(x0)2.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C上，求OAB面积的最大值．3223.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a0,b0,a3b32，证明：（1）(ab)(a3b3)4；（2）ab2．5绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题2n13.1.9614.115.16.6n1三、解答题17.解：（1）由题设及ABC得sinB8sin2，故2sinB（41-cosB）上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=015解得cosB=1（舍去），cosB=1715814（2）由cosB=得sinB，故SacsinBac1717ABC21717又S=2，则acABC2由余弦定理学科&网及ac6得b2a2c22accosB（a+c）22ac(1cosB)1715362(1)2174所以b=218.解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”由题意知PAPBCPBPC旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为6（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62故PB的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为（0.0680.0460.0100.008）5=0.66故PC的估计值为0.66因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466200626634382K215.70510010096104由于15.7056.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为0.0040.0200.04450.340.5，箱产量低于55kg的直方图面积为0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+≈52.3（5kg）．0.06819.解：（1）取PA中点F，连结EF，BF．11因为E为PD的中点，所以EFAD,EF=AD,由BADABC90得BC∥AD，又BCAD22所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF．又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB（2）7由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，PC(1，0，3),AB(1，0，0)则BM(x1，y，z),PM(x，y1，z3)因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以0z2cosBM,nsin45，(x1)2y2z22即（x-1）²+y²-z²=0又M在棱PC上，学|科网设PMPC,则x,y1,z3322x=1+x=1-22y=1(舍去)，y=1由①，②得66zz222626所以M1-,1，，从而AM1-,1，2222设是平面的法向量，则m=x0,y0,z0ABMmAM02-2x2y6z0即000mAB0x008mn10所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,nmn510因此二面角M-AB-D的余弦值为520.解（）设（）（）设（）1Px,y,Mx0,y0,Nx0,0,NPxx0,y,NM0,y02由NP2NM得x=x,yy002x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以122因此点P的轨迹方程为x2y22（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn，OPm,n,PQ3m,tn,2222由OPPQ1得-3mmtnn1，又由（1）知m+n=2，故3+3m-tn=0所以OQPF0，即OQPF.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解：（1）fx的定义域为0，+设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx01因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa,g'1=a1,得a1x1若a=1，则g'x=1.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递x增.所以x=1是gx的极小值点，故gxg1=0综上，a=1（2）由（1）知fxx2xxlnx,f'(x)2x