2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i23iA．32iB．32iC．32iD．32i2．已知集合A1,3,5,7，B2,3,4,5，则ABA．3B．5C．3,5D．1,2,3,4,5,7exex3．函数fx的图像大致为x24．已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)A．4B．3C．2D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3x2y26．双曲线1(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为a2b223A．y2xB．y3xC．yxD．yx22C57．在△ABC中，cos，BC1，AC5，则AB25A．42B．30C．29D．25111118．为计算S1，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入234991001开始N0,T0i1是否i1001NNSNTi1TT输出Si1结束A．ii1B．ii2C．ii3D．ii49．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为2357A．B．C．D．222210．若f(x)cosxsinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是ππ3πA．B．C．D．π42411．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为331A．1B．23C．D．312212．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)A．50B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．x2y5≥0,14．若x,y满足约束条件x2y3≥0,则zxy的最大值为__________．x5≤0,5π115．已知tan(α)，则tanα__________．4516．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若2△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：yˆ30.413.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：yˆ9917.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．3（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离．20．（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（12分）1已知函数fxx3ax2x1．3（1）若a3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）x2cosθ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方y4sinθx1tcosα,程为（t为参数）．y2tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)5|xa||x2|．（1）当a1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．4绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．B9．C10．C11．D12．C二、填空题313．y=2x–214．915．16．8π2三、解答题17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．22（2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为$y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为$y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年5开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型$y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．2连结OB．因为AB=BC=AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=21AC=2．2由OP2OB2PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．1242由题设可知OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°．23325OCMCsinACB45所以OM=，CH==．3OM545所以点C到平面POM的距离为．520．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．6设A（x1，y1），B（x2，y2）．yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20．2y4x2k2416k2160，故xx．12k24k24所以ABAFBF(x1)(x1)．12k24k24由题设知8，解得k=–1（舍去），k=1．k2因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则y0x05，x03，x011，(yx1)2解得或200y2y6.(x01)16.002因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144．21．解：1（1）当a=3时，f（x）=x33x23x3，f′（x）=x26x3．3令f′（x）=0解得x=323或x=323．当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（323，323）时，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．x3（2）由于x2x10，所以f(x)0等价于3a0．x2x1x3x2(x22x3)设g(x)=3a，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以x2x1(x2x1)2g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网71111又f（3a–1）=6a22a6(a)20，f（3a+1）=0，故f（x）有一个3663零点．综上，f（x）只有一个零点．22．解：x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为1．416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．4(2cossin)又由①得tt，故2cossin0，于是直线l的斜率1213cos2ktan2．23．解：（1）当a1时，2x4,x1,f(x)2,1x2,2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}．（2）f(x)1等价于|xa||x2|4．而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4．由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6][2,)．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i(2+3i)=()A．3-2iB．3+2iC．-3-2iD．-3+2i解析：选D82．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=()A．{3}B．{5}C．{3,5}D．{1,2,3,4,5,7}解析：选Cex-e-x3．函数f(x)=的图像大致为()x2e2-e-2解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=>1,故选4B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3解析：选D5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。x2y26．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()a2b223A．y=±2xB．y=±3xC．y=±xD．y=±x22解析：选Ae=3c2=3a2b=2aC57．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=()25A．42B．30C．29D．25C3解析：选AcosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4225111118．为计算S=1-+-+……+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应23499100填入()9开始N0,T0i1是否i