2010年普通高等学校招生全国统一考试A卷文科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1.集合，,则A∩B= (A) （B）(C) （D）2.复数z=在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3.函数是 (A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为和,则 (A)＞，＞(B)＜，＞(C)＞，＜(D)＜，＜5.右图是求x1,x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 (A)(B)(C)(D)6.“”是“＞0”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件7.下列四类函数中，具有性质“对任意的，函数满足”的是 （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数[来源:学科8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）2 （B）1 （C） （D）9.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为 （A） （B）1 （C）2 （D）410.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数之间的函数关系用取整函数（[x]表示不大于的最大整数）可以表示为 （A）y＝[] （B）y＝[] （C）y＝[] （D）y＝[]二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.观察下列等式：根据上述规律，第四个等式为.12.已知向量若，则m＝.13.已知函数若，则实数＝. 14.设满足约束条件，则目标函数的最大值为. 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）不等式的解集为. B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm. C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）化成普通方程为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）. 16.（本小题满分12分） 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列的前n项和Sn. 17.（本小题满分12分） 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. .[来源:Zxxk.Com] 18.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V. .19（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：[来源:学。科。网Z。X。X。K]（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；[来源:学.科.网]（Ⅲ）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.20.（本小题满分13分）如图，椭圆的顶点为，焦点为，.（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n为过原点的直线，是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A,B两点的直线，.是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.21、(本小题满分14分)已知函数，，.（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.[来源:学科网ZXXK]参考答案17.解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°,ADB=60°[来源:Z*xx*k.Com] 在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°， 由正弦定理得, AB=18.解：(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD，∴EF∥AD, 又∵AD平面PAD，EF平面PAD,[来源:学科网] ∴EF∥平面PAD. (Ⅱ)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G,19.解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有估计该校学生身高在170~180cm之间的概率（Ⅲ）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率20.解:(Ⅰ)由知a2+b2=7,①由知a=2c,②又b2=a2-c2③由①，②，③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为假设使成立的直线l存在，(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为,由l与n垂直相交于P点且得将④，⑤代入上式并化简得⑥将代入⑥并化简得，矛盾.即此时直线不存在.[来源:学&科&网]（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为，则A,B两点的坐标为或当时，当时，∴此时直线也不存在.综上可知，使成立的直线不存在.21.解：（Ⅰ）=,=(x>0),由已知得解得a=，x=e2,（i）当a>0时，令解得，∴当0<<时，，在（0，）上递减；当x>时，，在上递增.∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.∴最小值（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值。故的最小值的解析式为（Ⅲ）由（Ⅱ）知则，令解得.当时，，∴在上递增；当时，，∴在上递减.∴在处取得最大值∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.∴当时，总有选择填空解析：1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B= [D](A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2}(C){x－1≤x≤1} (D){x－1≤x＜1}解析：本题考查集合的基本运算由交集定义得{x－1≤x≤2}∩｛xx＜1｝={x－1≤x＜1}2.复数z=在复平面上对应的点位于 [A](A)第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限3.函数f(x)=2sinxcosx是 [C](A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数解析：本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则 [B](A)＞，sA＞sB(B)＜，sA＞sB(C)＞，sA＜sB(D)＜，sA＜sB解析：本题考查样本分析中两个特征数的作用＜10＜；A的取值波动程度显然大于B，所以sA＞sB5.右图是求x1,x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 [D](A)S=S*(n+1)（B）S=S*xn+1(C)S=S*n(D)S=S*xn解析：本题考查算法S=S*xn6.“a＞0”是“＞0”的 [A](A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断，a＞0”是“＞0”的充分不必要条件 7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C] （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数解析：本题考查幂的运算性质8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B] （A）2 （B）1 （C） （D）解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 [C] （A） （B）1 （C）2 （D）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）所以 10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 [B] （A）y＝[] （B）y＝[] （C）y＝[] （D）y＝[]解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设，，所以选B11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 12.已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则m＝－1.解析：，所以m=-1 13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝2.解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2 14.设x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为5.解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝3x－y过点C（2,1）时，在y轴上截距最小此时z取得最大值515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）不等式<3的解集为.解析： B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.解析：,由直角三角形射影定理可得 C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）化成普通方程为x2＋（y－1）2＝1.解析：[来源:Z。xx。k.Com]