2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（ ）A．∅ B．{﹣3，﹣2，2，3} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，2}2．（1﹣i）4＝（ ）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则ai，aj，ak为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A．5 B．8 C．10 D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）A． B．2+ C．﹣2 D．2﹣6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（ ）A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣17．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（ ）A．2 B．3 C．4 D．58．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（ ）A． B． C． D．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）A．4 B．8 C．16 D．3210．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（ ）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）A． B． C．1 D．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（ ）A．ln（y﹣x+1）＞0 B．ln（y﹣x+1）＜0 C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若sinx＝﹣，则cos2x＝ ．14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝ ．15．若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是 ．16．设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p1∧p4②p1∧p2③￢p2∨p3④￢p3∨￢p4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cosA＝．（1）求A；（2）若b﹣c＝a，证明：△ABC是直角三角形．18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得xi＝60，yi＝1200，（xi﹣）2＝80，（yi﹣）2＝9000，（xi﹣）（yi﹣）＝800．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝，≈1.414．19．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B﹣EB1C1F的体积．21．已知函数f（x）＝2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝的单调性．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（ ）A．∅ B．{﹣3，﹣2，2，3} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＜﹣1或x＞1，x∈Z}，∴A∩B＝{﹣2，2}．故选：D．2．（1﹣i）4＝（ ）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故选：A．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则ai，aj，ak为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A．5 B．8 C．10 D．15【分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．解：若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则ai，aj，ak为原位大三和弦，即有i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12，共5个；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦，可得i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12，共5个，总计10个．故选：C．4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为＝18名，故选：B．5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）A． B．2+ C．﹣2 D．2﹣【分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．解：单位向量||＝||＝1，•＝1×1×cos60°＝，对于A，（+2）＝•+2＝+2＝，所以（+2）与不垂直；对于B，（2+）＝2•+＝2×+1＝2，所以（2+）与不垂直；对于C，（﹣2）＝•﹣2＝﹣2＝﹣，所以（﹣2）与不垂直；对于D，（2﹣）＝2•﹣＝2×﹣1＝0，所以（2﹣）与垂直．故选：D．6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（ ）A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．解：设等比数列的公比为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴Sn＝＝2n﹣1，an＝2n﹣1，∴＝＝2﹣21﹣n，故选：B．7．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝0，a＝0执行循环体，a＝1，k＝1执行循环体，a＝3，k＝2执行循环体，a＝7，k＝3执行循环体，a＝15，k＝4此时，满足判断框内的条件a＞10，退出循环，输出k的值为4．故选：C．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（ ）A． B． C． D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）A．4 B．8 C．16 D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求出．解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．10．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（ ）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 D．是偶函数，且在（0，+∞