2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知是虚数单位.若＝，则 (A) (B) (C) (D)(2)设集合，则 (A) (B) (C) (D)(3)函数的定义域为 (A) (B) (C) (D)(4)用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 (A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 (C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根(5)已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 (A) (B) (C) (D)(6)已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) (B) (C) (D)(7)已知向量.若向量的夹角为，则实数 (A) (B) (C)0 (D)(8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 (A)6 (B)8 (C)12 (D)18(9)对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) (B) (C) (D)(10)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为 (A) 5 (B)4 (C) (D)2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.开始输入x是结束否输入x(11)执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为 .(12)函数的最小正周期为 .(13)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。(14)圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 。(15)已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 。三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(17)（本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别为.已知.（Ｉ）求的值；（II）求的面积.(18)（本小题满分12分）AFCDBPE如图，四棱锥中，分别为线段的中点.（Ｉ）求证：；（II）求证：.(19)（本小题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（Ｉ）求数列的通项公式；（II）设，记，求.(20)（本小题满分13分）设函数，其中为常数.（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；（II）讨论函数的单调性.(21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（Ｉ）求椭圆的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点. （i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值.2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。（1）已知是虚数单位，若，则（A） （B） （C） （D）【解析】由得，，故答案选A（2）设集合则（A）(0,2] （B）(1,2) （C）[1,2) （D）(1,4)【解析】，数轴上表示出来得到[1,2)故答案为C（3）函数的定义域为（A） （B） （C） （D）【解析】故。选D（4）用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是（A）方程没有实根（B）方程至多有一个实根（C）方程至多有两个实根（D）方程恰好有两个实根【解析】答案选A，解析略。（5）已知实数满足，则下列关系式恒成龙的是（A） （B）（C） （D）【解析】由得，，但是不可以确定与的大小关系，故C、D排除，而本身是一个周期函数，故B也不对，正确。（6）已知函数的图像如右图，则下列结论成立的是（A） （B）（C） （D）【解析】由图象单调递减的性质可得，向左平移小于1个单位，故答案选C（7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=（A） （B） （C） （D）【解析】：答案：B（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A） （B） （C） （D）【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4答案：C（9）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（A） （B） （C）（D）【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。答案：D（10）已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（A） （B） （C） （D）【解析】：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方。答案：B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为。【解析】：根据判断条件，得，输入第一次判断后循环，第二次判断后循环，第三次判断后循环，第四次判断不满足条件，退出循环，输出答案：3函数的最小正周期为。【解析】：.答案：一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。【解析】：设六棱锥的高为，斜高为，则由体积得：，侧面积为.答案：12圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为。【解析】设圆心，半径为.由勾股定理得：圆心为，半径为2，圆的标准方程为答案：已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。【解析】由题意知，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，即代入双曲线方程为，得，渐近线方程为，.答案：1三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分12分）海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。地区数量50150100（Ⅰ）求这6件样品中来自各地区样品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。【解析】：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：所以各地区抽取商品数为：，，；（Ⅱ）设各地区商品分别为：基本时间空间为：，共15个.样本时间空间为：所以这两件商品来自同一地区的概率为：.（17）（本小题满分12分）在中，角所对的边分别是。已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积。【解析】：（Ⅰ）由题意知：，，由正弦定理得：（Ⅱ）由余弦定理得：又因为为钝角，所以，即，所以（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,分别为线段的中点。（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：【解析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2四边形ABCE为菱形又（Ⅱ）,,（19）（本小题满分12分）在等差数列中，已知，是与等比中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设记，求.【解析】：（Ⅰ）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即，解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，=1\*GB3\*MERGEFORMAT①当n为偶数时：=2\*GB3\*MERGEFORMAT②当n为奇数时：综上：（本小题满分13分）设函数，其中为常数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性.【解析】(1)(2)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.（=1\*roman\*MERGEFORMATi）设直线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；（=2\*roman\*MERGEFORMATii）求面积的最大值.【解析】(1)设直线与椭圆交于两点。不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点。