2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 其中表示球的半径如果事件相互独立，那么 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题：设集合则Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.２.已知函数连续，则常数的值是Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５３.复数的值是Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－Ｄ.4.已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称D.函数是奇函数5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是Ａ. Ｂ.平面C.直线∥平面Ｄ.6.已知为实数，且。则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=A.B.C.0D.48.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.228C.216D.9612.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A.0B.C.1D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13.的展开式的常数项是（用数字作答）14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，则②对，则是平面上的线性变换；③若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。18.（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。21.（本小题满分12分）已知函数。（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）若（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。22.（本小题满分14分）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案（1）C（2）B(3)A(4)D(5)D(6)B(7)C(8)B(9)A（10）D(11)B(12)A（13）-20（14）4（15）（16）①②③1.设集合则Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题，故选择C。２.已知函数连续，则常数的值是Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得，故选择B。３.复数的值是Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－Ｄ.【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：，故选择A。4.已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称D.函数是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）解：，其中A、C显然正确，故选择D。5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是Ａ. Ｂ.平面、C.直线∥平面Ｄ.【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。6.已知为实数，且。则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：推不出；但，故选择B。7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=A.B.C.0D.4【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析：由题知，故，∴，故选择C。8.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径，故，所以两点的球面距离为，故选择B。9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.228C.216D.96【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A.0B.C.1D.【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析：令，则；令，则由得，所以，故选择A。13.的展开式的常数项是（用数字作答）【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知的通项为，令得，故常数项为。14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是w【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由题知，且，又，所以有，∴。15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：=1\*GB3①设是平面上的线性变换，则=2\*GB3②对设，则是平面上的线性变换；=3\*GB3③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；=4\*GB3④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新定义，创新题。解析：令，由题有，故①正确；由题，，即，故②正确；由题，，即，故③不正确；由题，，即也共线，故④正确；三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（Ⅰ）、为锐角，，又，，，…………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.由正弦定理得，即，，，……………………………………12分（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。…………………………………………………………6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3,，，所以的分布列为0123所以，……………………12分（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形，，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。……………………………………4分（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE……………………………………8分（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG==故二面角F-BD-A的大小为arctan.………………………………12分解法二:(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥A