2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径第一部分（选择题共60分）一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、的展开式中的系数是（）A、B、C、D、2、复数（）A、B、C、D、3、函数在处的极限是（）A、不存在B、等于C、等于D、等于4、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、，则（）A、B、C、D、5、函数的图象可能是（）ABCD6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A、B、C、D、且8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（）A、B、C、D、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（）A、B、C、D、11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、60条B、62条C、71条D、80条12、设函数，是公差为的等差数列，，则（）A、B、C、D、第二部分（非选择题共90分）注意事项：（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。（2）本部分共10个小题，共90分。二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）13、设全集，集合，，则___________。14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则。其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。18、(本小题满分12分) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值。19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，平面平面。（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角的大小。20、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。21、(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。22、(本小题满分14分) 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。1.D2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.B9.C10.A11.B12.D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。13.14.15.316.=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④三、解答题17.本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。解：（=1\*ROMANI）设“至少有一个系统不发生故障”为事件，那么解得…………………………………………………………………………4分（=2\*ROMANII）由题意，所以，随机变量的概率分布列为0123故随机变量的数学期望：…………………………..12分18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。解：（=1\*ROMANI）由已知可得，又正三角形的高为，从而所以函数的周期，即函数的值域为………………………………………………..6分（=2\*ROMANII）因为，由（=1\*ROMANI）有，即由，知所以故……………………………………………………………………………………12分19.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（=1\*ROMANI）设的中点为，的中点为，连接，由已知，为等边三角形，所以又平面平面，平面平面，所以平面所以为直线与平面所成的角不妨设，则在中，所以，在中，故直线与平面所成的角的大小为………………………….6分（=2\*ROMANII）过作于，连接由已知可得，平面根据三垂线定理知，所以为二面角的平面角由（=1\*ROMANI）知，在中，故二面角的大小为…………………………………………12分解法二：（=1\*ROMANI）设AB的中点为D，作于点，连结CD因为平面平面，平面平面=，所以平面所以由，知设E为AC中点，则，从而如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，由已知可得，所以所以，而为平面的一个法向量设为直线与平面所成的角，则故直线与平面所成的角的大小为…………………………….6分（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）有，设平面的一个法向量为，则从而取，则，所以设二面角的平面角为，易知为锐角而面的一个法向量为，则故二面角的大小为………………………………………….12分20.本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想解：（=1\*ROMANI）取，得=1\*GB3①取，得=2\*GB3②由=2\*GB3②=1\*GB3①，得=3\*GB3③（1）若，由=1\*GB3①知（2）若，由=3\*GB3③知=4\*GB3④由=1\*GB3①、=4\*GB3④解得，；或综上可得，；或；或……5分（=2\*ROMANII）当时，由（=1\*ROMANI）知当时，有，所以，即，所以令，则所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而当时，，故时，取得最大值，且的最大值为……………………………………….12分21.本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。解：（=1\*ROMANI）设M的坐标为，显然有，且当时，点的坐标为当时，，由，有，即化简可得，而点在曲线上综上可知，轨迹的方程为…………………………………5分（=2\*ROMANII）由消去，可得（*）由题意，方程（*）有两根且均在内，设所以解得，，且设的坐标分别为，由有所以由，且，有且所以的取值范围是………………………………………..12分22.本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。解：（=1\*ROMANI）由已知得，交点的坐标为，对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，即，则……………3分（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，则成立的充要条件是即知，对所有成立，特别地，取得到当，时，当时，显然故时，对所有自然数都成立所以满足条件的的最小值为…………………………………………………..8分（=3\*ROMANIII）由（=1\*ROMANI）知，则下面证明：首先证明：当时，设函数则当时，；当时，故在区间上的最小值所以，当时，，即得由知，因此，从而…………………………………………………14分