2023学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.抛物线的焦点坐标为______.2.已知，则_______.3.将化为有理数指数幂的形式为_______.4.已知向量，，若，则实数.5.设实数满足，则.6.有一组数从小到大排列为：，，，，，.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.7.已知集合，且，则实数的值为.8.在数列中，，则_______.9.某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价（元/件）1015202530月销售量（万件）1110865由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元/件时，月销售量为万件.10.已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_______.11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设2：视探照灯为点，且距离地面米；假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环.由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如下右图）.记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.已知，则（）.A．B．C．D．14.已知随机变量服从正态分布.若，则（）.B．C．D．15.已知直线与平面，则下列命题中正确的是（）.A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是 （）.A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.（1）求证：；（2）若圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得2分，否则得分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.求甲投篮次得分的概率；若乙投篮次得分为,求的分布和期望；比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）已知双曲线的左、右顶点分别为，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若求的取值范围；（3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是两点，直线与椭圆的另一个交点为．记、的面积分别为、.求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数的表达式为.（1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；（2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；（3）已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.12.解：由已知得，所以所以存在实数，使得不等式有解，则，解得又因为且，所以在方向上的数量投影是2，所以，围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥（如图）故由构成的空间几何体的体积14.15.16.17.解：（1）由正弦定理得..........................2分又由余弦定理得...............................4分因为是三角形内角，所以....................................6分由三角形面积公式..........................8分得.........................10分因为，当且仅当时取等号，........................12分所以的最小值为，此时为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱中，易知，从而是在圆上的投影.....2分又为圆的直径，可得.......................4分由三垂线定理，就得.......................6分（2）延长交圆于点，连接、、，易知，（或其补角）即为所求的角..........................8分由题知解得.................................10分中，由余弦定理得.......................13分从而所以异面直线与所成角的大小为................................14分解：（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率.................3分（2）由题意知的所有可能取值为则.................4分.................5分.................6分.................7分随机变量的分布为..................8分期望.................9分（3）设甲三次投篮的得分，则=可求得随机变量的分布为所以.............11分...........12分又可算得.......13分因为，所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为，则设甲的投篮得分为，则，从而20.解：（1）两条渐近线方程为.............................1分设两条直线夹角为，则........................2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为...............................3分（2）设，由已知得..................4分，，则得..............................6分又点在双曲线上，有即从而得.又点是双曲线在第一象限的点，所以.所以................................9分椭圆中，焦点在轴上，标准方程为..................10分设，直线的斜率为则直线的方程为联立方程组得该方程的两根分别为和同理可得所以.........................12分记..........................13分则当且仅当即时取等号，.....................15分所以的最小值为，此时点的坐标为.................16分另解:因为，所以即又，，代入上式化简得，整理得21.解（1）时，则..................1分从而..................3分所以直线的方程是..................4分（2）由，可知，则（），.......................5分当时.......................6分①当时，，此时函数没有零点；.....................7分②当时，因为，可知在上严格增，在严格减又在上严格增，在严格减，所以时，在时有最小值，在时有最大值因为所以在上没有交点，即在上没有零点.......................9分所以函数的零点满足，.因为在严格减，所以.又因为，所以数列是严格减数列........................10分（3）因为，所以是以为周期的周期函数.................11分因为任意，当时，都有且，所以当时，在上有唯一的最大值1...............................12分由得，................13分假设存在，使得成立，即成立故，当时，取得最大值1；当时，取得最大值1由，可知①时，...................15分又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值故，当时，取得最小值；当时，取得最小值由，可知②时.....................17分若成立，则由①②得，即因为，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分