2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考理科数学考试满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设1+iz=i2+i3+i4，则z=（）11111111A.+iB.-iC.--iD.-+i222222222.集合M=x∣y=1-x,N=y∣y=1-x，则下列选项正确的是（）A.MNRÈ=B.MNNÈ=C.MNNÇ=D.MNÇ=Æ3.已知函数fx=x-1，公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn.若fa1012=fa1013，则S2024=（）A.1012B.2024C.3036D.4048ìx-y³-1ï4.若实数x,y满足约束条件íx+5y³11，则z=2x-y的最大值为（）ïîx+y£7A.0B.2C.9D.115.甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（）1111A.B.C.D.6432uuuruuuruuur6.在VABC中，M是AB的中点，AN=3NC,CM与BN相交于点P，则AP=（）3uuur1uuur1uuur3uuurA.AB+ACB.AB+AC5555学科网（北京）股份有限公司1uuur3uuur3uuur1uuurC.AB+ACD.AB+AC2442æπöæπö7.已知tançq-÷=2，则sinç2q+÷=（）è4øè4ø722272A.-B.-C.D.101010108.侧棱长与底面边长均为a的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a=（）A.12B.8C.6D.4y29.已知直线l与椭圆+x2=1在第四象限交于AB､两点，l与x轴，y轴分别交于CD､两点，若3AC=BD，则l的倾斜角是（）πππ5πA.B.C.D.64312723456710.已知(1-2x)=a0+axax1+2+ax3+ax4+ax5+ax6+ax7，则a0+2a1+3a2+4a3+5a4+6a5+7a6+8a7=（）A.-15B.-6C.6D.1511.若直线y=ax+b是曲线y=ex的一条切线，则b=（）A.a1+lnaB.a1-lnaC.a1+eaD.a1-ea12.已知直线l1:mx-y-m+3=0mÎR与直线l2:x+my-m-5=0mÎR相交于点P，则P到直线2x+y+7=0的距离的取值集合是（）éùùéùùA.ë5,35ûB.5,3,5ûC.ë25,45ûD.25,45û二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出一个对称中心为1,0的奇函数fx=__________.14.已知数列an的前n项和为Sn，且an=2Sn+2，则a7+S9=__________.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，位于第一象限的点P在C上，O为坐标原点，且满足PO=PF，则VOPF外接圆的半径为__________.学科网（北京）股份有限公司fx2-fx116.已知函数fx=lnx+ax+sinx,x1,x2Î0,+¥,x1¹x2，都有>1，则a的取值范围为x2-x1__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.（1）完成如下用户类别与购买意向的2´2列联表；购买6元购买24元总计个人用户公司用户总计（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）n()ad-bc2附：K2=，a+bc+da+cb+d临界值表如下：2PK³k00.100.050.0250.010.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82818.（12分）在三边均不相等的VABC中，角ABC､､对应的边分别为a､b､c，若asin2A-sin2C=bsin2B-sin2C.点D在线段AB上，且CD平分角C.（1）求C；（2）若a=3,b=5，求CD的长度.19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB^BP,CD^DP，学科网（北京）股份有限公司PA=2，点EF,分别为PB,PD的中点.（1）求证：PA^平面ABCD；（2）求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值.x2y220.（12分）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于a2b&223.（1）求该双曲线的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于PQ､两点，且坐标原点O在以PQ为直径的圆上，求PQ的最小值.21.（12分）已知函数fx=ex+ax-bcosx.（1）当b=0时，求fx的单调区间；（2）当a=2f¢0且b=1时，讨论fx在R上的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ì12æπö3ïx=t+1-trsinç-q÷=，曲线的参数方程为í2（t为参数），è3ø4îïy=t-1（1）分别求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于AB,两点，过线段AB的中点Q作x轴的平行线交C于一点P，求点P的横坐标.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数fx=x+1+2x+4.（1）求函数fx的最小值；学科网（北京）股份有限公司149（2）若a,,bc为正实数，且fa+fb+fc=27，求++的最小值.abc2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考理科数学参考答案1.【答案】D---i--i1ii11i【解析】由条件可得1+iz=-1+-i+1=-i，所以z====--，即1+i1+i1-i2221iz=-+.故选D.222.【答案】A【解析】由条件可得M=x∣x£1,N=y∣y³0，所以MNMNÈ=R,Ç=0,1，故选A.3.【答案】Ba+a【解析】由题可知函数fx的图象关于直线x=1对称，所以10121013=1，所以a+a=2，又2101210132024a+a2024a+aS=12024=10121013=2024，故选B.2024224.【答案】Dìx-y³-1ï【解析】由约束条件íx+5y³11，画出可行域，ïîx+y£7z=2x-y，化为斜截式方程得y=2x-z，ìx+5y=11ìx=6联立í得í，即C6,1.îx+y=7îy=1由题意可知，当直线y=2x-z过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z最大.把点C6,1代入目标函数可得最大值，即最大值z=2´6-1=11.故选D.5.【答案】C【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六､周日值班共有6种情况（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙）.显然甲､乙被21安排在同一天有2种情况，所以甲､乙被安排在同一天的概率为=.故选C.636.【答案】B学科网（北京）股份有限公司uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur4uuur【解析】设AP=lAB+mAC，由M是AB的中点，得AB=2AM，由AN=3NC，得AC=AN.3uuuruuuuruuuruuuruuur4uuur所以AP=2lAM+mAC，且AP=lAB+mAN3由CM与BN相交于点P可知，点P在线段CM上，也在线段BN上，由三点共线的条件可得ì1ì2l+m=1l=ïï5uuur1uuur3uuurí4，解得í，所以AP=AB+AC，故选B.l+m=1355îï3ïm=îï57.【答案】Aπtanq-tanæπö【解析】由tanq-=4=2，解得tanq=-3，所以ç÷πè4ø1+tanq×tan42sinqcosq2tanq3cos2q--sin2q1tan2q4sin2q=2sinqcosq===-=-=,cos2qcos2qsin2q==-sin2q+cos2qtan2q+15cos2q+sin2q1+tan2q5æπö2272，所以sinç2q+÷=sin2q+cos2q=-.故选A.è4ø22108.【答案】C【解析】由球的表面积公式SR=4π2=84π，解得外接球半径R=21.因为底面三角形是边长为a的等边123三角形，所以此三角形的外接圆半径为a´3´=a，由正三棱柱的外接球的特点可得，23322æ1öæ3ö2，解得故选R=ça÷+ça÷a=6.C.è2øè3ø9.【答案】C【解析】由AC=BD可得线段AB的中点，也是线段CD的中点，设Ax1,,,y1Bx2y2，ìx+xx=12ï02线段AB的中点坐标为Mx0,y0，则C2x0,0,D0,2y0,í.y+yïy=12îï022ìy12ï+x1=122ï3y-y又点AB,在椭圆上，所以í，两式相减可得2+x2-x2=0，y2312ï2+x2=1îï32学科网（北京）股份有限公司y1+y2y1-y2y1+y2y1-y22y0y0=-3，所以×=-3，所以×kAB=-3，即×kAB=-3.x1+x2x1-x2x1+x2x1-x22x0x02y-0yk=k=0=-0又因为ABCD､､､四点共线，所以ABCD，综上可得kAB=±3，由AB､在第四象限得0-2x0x0πk>0即k=3，所以直线的倾斜角为.故选C.ABAB310.【答案】A23456787【解析】令fx=axax0+1+ax2+ax3+ax4+ax5+ax6+ax7，即fx=x(1-2x)，234567对函数fx求导可得，fx¢=a0+2ax1+3ax2+4ax3+5ax4+6ax5+7ax6+8ax7，且f¢x=(1-2x)7+x×7(1-2x)6×-2，所以76a0+2a1+3a2+4a3+5a4+6a5+7a6+8a7=f¢1=-+×-×-=--=-(1)17(1)211415.故选A.11.【答案】Bìy=ax+b【解析】设切点坐标为Qx,y，则切点在直线上，也在曲线上，所以00，又切线斜率00íx0îy0=e'xx0x0k=e=e，且k=a，所以a=e,x0=lna，代入可得x=x0x0b=y0-ax0=e-ax0=a-alna=a1-lna，故选B.12.【答案】D【解析】由两直线垂直的判断条件AABB12+12=0，可知m×1+-1×m=0，所以直线l1与l2始终垂直，又由条件可得直线l1恒过定点M1,3，直线l2恒过定点N5,1，所以两直线的交点P是在