商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax∣x29,B2,1,0,1,2,3,4，则AB（）A.1,0,1B.2,1,0,1,2,3C.2,1,0,1,2D.2,1,0,1,2,3,43i2.已知复数z，则z的虚部为（）2iA.iB.iC.1D.-13.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（）A.842B.823C.642D.8431114.如图，在ABC中，满足条件ADDB,AEEC，若DEBABC，则（）31A.8B.4C.2D.2学科网（北京）股份有限公司25.已知抛物线C:y8x的焦点为F，点P在C上，点Q6,3，则PQF周长的最小值为（）A.8B.10C.12D.132n16.已知等比数列an的前n项和Sn3m，则m（）A.3B.9C.-9D.-37.设某批产品的产量为x（单位：万件），总成本cx10013x（单位：万元），销售单价800px3（单位：元/件），若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的x2产量为（）A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件22y8.已知双曲线C:x1的一条渐近线为l,P为C右支上任意一点，且P到l的距离为d1，到左焦点的3距离为d2，则d1d2的最小值为（）A.4B.23C.23D.139.已知函数fx2是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1x2，不等式x1x2fx1fx20恒成立，则不等式fx20240的解集是（）A.2022,B.2022,C.2024,D.2024,π10.已知函数fxsinx(0)的图象与gx的图象关于x轴对称，若将fx的图象向左至少5π平移个单位长度后可得到gx的图象，则（）2A.gx的图象关于原点对称πB.gxgx2πC.gx在0,上单调递增52πD.gx的图象关于点,0对称511.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评.其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，学科网（北京）股份有限公司2π若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为12π，则球O的表面积为（）381π121π81π121πA.B.C.D.816241312.设asin0.2,b0.16,cln，则（）22A.acbB.bacC.cbaD.cab二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列an中，首项a12，公差d1，若aka1a2a3a7，则k等于__________.π114.若sin，则sin2__________.4415.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源22点A0,2射出的两条光线与O:xy1分别相切于点MN,，称两射线AM,AN上切点上方部分的射线与优弧MN上方所夹的平面区域（含边界）为圆O的“背面”.若以点Ba,2为圆心，r为半径的圆处于O的“背面”，则r的最大值为__________.x2y2116.如图，已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，左顶点是A，左､右焦点分别是FFM1,,2是Ca2b22在第一象限内的一点，直线MF1与C的另一个交点为N.若MF2∥AN，则直线MN的斜率__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：学科网（北京）股份有限公司等级一级正品二级正品次品频数1000800200（1）求这2000个产品的平均利润是多少；（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？22n()adbc附：K，其中nabcd.abcdacbd2PK…k00.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82818.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC,CDBC,AB1,BC3,CD2.（1）求cosAOB；（2）求sinADB.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面ACC1A1，侧面ACC1A1为菱形，AC2，A1AC60,ABBC,O是AC的中点.学科网（北京）股份有限公司（1）证明：OA1AB；（2）若ABC90，求点B到平面OAB1的距离.20.（本小题满分12分）x2y2x2已知椭圆C:1(ab0)的离心率是双曲线y21的离心率的倒数，椭圆C的左､右焦点分a2b23别为FF1,2，上顶点为P，且PF1PF22.（1）求椭圆C的方程；（2）当过点Q0,2的动直线l与椭圆C相交于两个不同点AB,时，设AQQB，求的取值范围.21.（本小题满分12分）2a已知函数fxaxlnxaR.x（1）讨论fx的单调性；216a2（2）若fx的两个极值点分别为x1,x2，证明：fxfx.122a（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程xcos,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的ysin11正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为π.sin3（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线CC1,2交于AB,两点，求线段AB的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲学科网（北京）股份有限公司已知fx2x3x.（1）解不等式fx„3；3（2）令gxfxa，若gx的图象与x轴所围成的图形的面积为，求实数a的值.2商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（文科）参考答案､提示及评分细则1.CA{x∣3x3},B2,1,0,1,2,3,4，所以AB2,1,0,1,2.故选C.3i3i2i55i2.D因为z1i，所以z1i，则z的虚部为-1.故选D.2i2i2i53.A易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，一条侧棱PA与底面垂直，且，易求S4,SS2，PA2四边形ABCDPABPADSS22，所以该几何体的表面积为.故选A.PBCPDC842111111114.A因为DEDAAEBAACBABCBABABC，所以,，故24244444118.故选A.5.D如图，显然F2,0，记抛物线C的准线为l，则l:x2，记点P到l的距离为d，点Q6,3到l的距离为d，则PQPFQFPQd(62)2(30)2…d58513.故选D.学科网（北京）股份有限公司216.D当n1时，a1S13m27m；当n…2时，aSS32n1m32n11m249n1，又a是等比数列，所以a2427m，解得nnn1n1m3.故选D.800160016007.B总利润fxx310013x73216x2„732216x2x2x2x21600412，当且仅当16x2，即x8时，fx最大.故选B.x2228.B由题可知，a1,b3,cab2，设右焦点F到渐近线的距离为d3，由图可知，d1d22d1PF…2d323.故选B.9.A由任意两个实数x1x2，不等式x1x2fx1fx20恒成立，得函数fx在R上单调递增.由函数fx2是定义在R上的奇函数，得f20，所以不等式fx20240f2化为x20242，解得x-2022，所以不等式的解集为2022,.故选A.ππ10.B由题意，可设gxfxmsinxmsinxm，因为fx与gx的55ππ6π图象关于x轴对称，所以sinxmsinxsinx，则mπ2kπ,.kZm555ππππ4π的最小值为，所以2，则gxsin2xsin2x.2255学科网（北京）股份有限公司4π对于A，因为gx的定义域为R，而g0sin0，所以gx不是奇函数，图象不关于原点对5称，A错误；ππ4π4π4π对于B，gxsin2xsin2xπsin2xgx，B正确；22555π4π4π2π4π2π对于C，由x0,，得2x,，又ysinx在,上不单调，C错误；5555552π4π8π8π2π对于D，2，不存在kZ，使kπ，故,0不是gx图象的对称中55555心，D错误.故选B.211.C圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为π，面积为12π，设圆锥3122的母线长为l，所以πl212π，解得l6.设圆锥的底面圆半径为r，所以2πrπl4π，解得233r2，所以圆锥的高h622242，设球O的半径为R，所以r2(42R)2R2，解得98181πR，所以球O的表面积等于4πR24π.故选C.228212.D设fxsinxxx2,x