商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax∣x29,B{2,1,0,1,2,3,4}，则AB（）A.1,0,1B.2,1,0,1,2C.2,1,0,1,2,3D.2,1,0,1,2,3,43i2.已知复数z，则z的虚部为（）2iA.iB.iC.1D.-13.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（）A.842B.823C.642D.8431114.如图，在ABC中，满足条件ADDB,AEEC，若DEBABC，则（）3学科网（北京）股份有限公司1A.8B.4C.2D.225.已知抛物线C:y8x的焦点为F，点P在C上，点Q6,3，则PQF周长的最小值为（）A.8B.10C.12D.132n16.已知等比数列an的前n项和Sn3m，则m（）A.3B.9C.-9D.-322y7.已知双曲线C:x1的一条渐近线为l,P为C右支上任意一点，且P到l的距离为d1，到左焦点的3距离为d2，则d1d2的最小值为（）A.4B.23C.23D.138.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（）11553A.B.C.D.64641689.已知函数fx2是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1x2，不等式x1x2fx1fx20恒成立，则不等式fx20240的解集是（）A.2022,B.2022,C.2024,D.2024,π10.已知函数fxsinx(0)的图象与gx的图象关于x轴对称，若将fx的图象向左至少5π平移个单位长度后可得到gx的图象，则（）2A.gx的图象关于原点对称πB.gxgx2πC.gx在0,上单调递增5学科网（北京）股份有限公司2πD.gx的图象关于点,0对称511.半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知MN3，若在该半正多面体内放一个球，则该球体积的最大值为（）92π92π162π82πA.B.C.D.84331312.设asin0.2,b0.16,cln，则（）22A.acbB.bacC.cbaD.cab二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.π113.若sin，则sin2__________.4414.已知圆M:(x2)2y24，过点N1,0的直线l与圆M交于AB,两点，D是AB的中点，则D点的轨迹方程为__________.823915.若2xx3(2)aax011ax2(1)ax3(1)ax9(1)，则a5__________.89i16.设函数fx的定义域为R,fx为fx的导函数，fx1f2x2x1，则fi130__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知ABC中，角ABC,,所对的边分别为a,b,c,2acosC2bc.学科网（北京）股份有限公司（1）求A；（2）设M是BC边上的点，且满足CM2BM,a9,MABMBA，求ACM内切圆的半径.18.（本小题满分12分）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：丑橘数量（箱）100,200200,300300,400400,500500,600购物群数量（个）a18a8a2018（1）求实数a的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；（2）假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布N,2，其中为（1）中的平均数，212100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在[266,596)（单位：箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？附：若X服从正态分布XN,2，则PX()0.683,PX(22)0.954,PX(33)0.997.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB1,PABC2,ABC45,E为棱PC上一点.（1）求证：ABPC；（2）若AEPC，求二面角BAED的大小.20.（本小题满分12分）x2y21已知椭圆Γ:1(ab0)的离心率是，其左､右焦点分别为FF1,2，过点B0,b且与直线BF2a2b22垂直的直线交x轴负半轴于D.（1）求证：2FFFD1220；学科网（北京）股份有限公司（2）若点D−(3,0)，过椭圆Γ右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P,Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M､Q､N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数f(x=)xex−ln(x+1),g(x=)2ln(x+1−)asinx.（1）求fx的单调区间；（2）若a2，函数hxfxgx.π（i）证明：hx在区间0,上存在极值点；2π（ii）记hx在区间0,上的极值点为m,hx在区间0,π上的零点的和为n.证明：2mn.2（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程xcos,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴ysin11建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为π.sin3（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线CC1,2交于AB,两点，求线段AB的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知fx2x3x.（1）解不等式fx„3；3（2）令gxfxa，若gx的图象与x轴所围成的图形的面积为，求实数a的值.2学科网（北京）股份有限公司商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（理科）参考答案､提示及评分细则1.BA{x∣3x3},B2,1,0,1,2,3,4，所以AB2,1,0,1,2.故选B.3i3i2i55i2.D因为z1i，所以z1i，则z的虚部为-1.故选D.2i2i2i53.A易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，一条侧棱PA与底面垂直，且，易求S4,SS2，PA2四边形ABCDPABPADSS22，所以该几何体的表面积为.故选A.PBCPDC842111111114.A因为DEDAAEBAACBABCBABABC，所以,，故24244444118.故选A.5.D如图，显然F2,0，记抛物线C的准线为l，则l:x2，记点P到l的距离为d，点Q6,3到l的距离为d，则PQPFQFPQd(62)2(30)2…d58513.故选D.2n12n116.D当时，aS321m27m；当n…2时，aSS3m3m24.n111nnn1n19，又an是等比数列，所以a12427m，解得m3.故选D.227.C由题可知，a1,b3,cab2，设右焦点F到渐近线的距离为d3，由图可知，学科网（北京）股份有限公司d1d22d1PF…2d323.故选C.22C158.B所有“重卦”共有26种，恰有2个阴爻的情况有C种，所以该重卦恰有2个阴爻的概率为p6.62664故选B.9.A由任意两个实数x1x2，不等式x1x2fx1fx20恒成立，得函数fx在R上单调递增.由函数fx2是定义在R上的奇函数，得f20，所以不等式fx20240f2化为x20242，解得x2022，所以不等式的解集为2022,.故选A.ππ10.B由题意，可设gxfxmsinxmsinxm，因为fx与gx的55ππ6π图象关于x轴对称，所以sinxmsinxsinx，则mπ2kπ,.kZm555ππππ4π的最小值为，所以2，则gxsin2xsin2x.22554π对于A，因为gx的定义域为R，而g0sin0，所以gx不是奇函数，图象不关于原点对5称，A错误；ππ4π4π4π对于B，gxsin2xsin2xπsin2xgx，B正确；22555π4π4π2π4π2π对于C，由x0,，得2x,，又ysinx在,上不单调，C错误；5555552π4π8π8π2π对于D，2，不存在kZ，使kπ，故,0不是gx图象的对称中55555心，D错误.故选B.学科网（北京）股份有限公司11.A由题意，半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，MN3，当球的体积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的内切球的球心，记球心为O.在PDE中，39313PD33,DE33，该半正多面体所在的正四面体的高22232222293hPDDE32，设点O到正六边形所在平面的距离为d，过点O作223OFDEd1OFPD于F，由几