2024年1月“七省联考”押题预测卷03数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A. B. C. D.2．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.4．形如我们称为“二阶行列式”，规定运算，若在复平面上的一个点A对应复数为，其中复数满足，则点A在复平面内对应坐标为（）A. B. C. D.5．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（）A. B.C. D.6．若函数在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（）A.9 B.8 C.7 D.68．设，，，则a，b，c的大小关系为（）．A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B.数据的第60百分位数为9C.若样本数据的平均数为2，则的平均数为8D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是10．在正四棱台中，，，则（）A.该正四棱台的体积为B.直线与底面所成的角为60°C.线段的长为10D.以为球心，且表面积为的球与底面相切11．已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（）A. B.C.点坐标可以是 D.有最大值12．已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，，且，，若是偶函数，则下列正确的是（）．A.B.的最小正周期为4C.是奇函数D.，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为______（用数字作答）.14.随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：则最小值为______.15.已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______________．16．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求C；（2）若，，点D在边AB上，且，求CD的长.18．已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．19．如图，直三棱柱中，为等腰直角三角形，，E，F分别是棱上的点，平面平面，M是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.（1）计算主持人打开4号箱的概率；（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）21．已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.（1）当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；（2）若点P的坐标为，求直线AB的斜率.22．已知函数，．（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数取值范围；（3）已知，证明：．