2023～2024学年度第一学期阶段联测高三数学试题考试时间120分钟总分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）Axx3Bxx5x20ðAIB设集合，，则R（）1.A.,2B.3,5C.2,3D.3,52.若复数ai1ai2，则实数a（）A.1B.0C.1D.2213.已知实数a0,b1满足ab＝5，则的最小值为（）ab1322342322342AB.C.D..44664.函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（）5exex5sinxA.B.2x22x15exex5cosxC.D.2x22x1sin1sin25.若tan2，则（）sincos6226A.B.C.D.555526.已知数列an满annn（nN），且对任意nN，anan1恒成立，则实数的取值范围第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司为（）A.0,B.,0C.2,D.3,7.已知a6ln5，b7ln4，c8ln3，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞ax8.已知函数fxx1e，若函数Fxf2xmfxm1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）11A.(,0)B.(,1)e2e211C.(1,1)D.(1,1)(1,)e2e2二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc:ca:ab4:5:6，则下列结论正确的是（）uuruuurA.sinA:sinB:sinC7:5:3B.CAAB073C.若c6，则ABC的面积是15D.若bc8，则ABC外接圆半径是3210.设正项等差数列an满足a1a102a2a920，则（）A.a2a9的最大值为10B.a2a9的最大值为21011144C.22的最大值为D.a2a9的最小值为200a2a9511.如图，棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N满足AMAC1，CNCD，其中、0,1，点P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）1A.当时，DM∥平面CBD311第2页/共4页学科网（北京）股份有限公司1B.当时，若B1P∥平面A1NC1，则B1P的最大值为3521C.当λμ时，若PMD1N，则点P的轨迹长度为12652D.过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形12.已知函数f(x)exxm（xR），g(x)sinxcosx（x0），则下列说法正确的是（）A.若f(x)有两个零点，则m1B.若x1x2且fx1fx2，则x1x205πC.函数yg(x)在区间0,有两个极值点4D.过原点的动直线l与曲线yg(x)相切，切点的横坐标从小到大依次为：x1，x2，…，xn.则πxntanxn4三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知f(x)sin(x)(0)，ff且f(x)在区间(,)有最小值无最大值，则12124124_______.abax114.定义运算adbc则不等式0对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是cd1x1________.15.正ABC的三个顶点都在球O的球面上，ABAC2，若三棱锥OABC的体积为2，则该球的表面积为______．n116.对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”．已知alog，则在区n4n间[1，2021]内的所有“幸福数”的个数为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）sinBsinA17.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.1cosB2cosAπ1cosB（1）若A，求的值；3sinB（2）若b1，求ABC的面积的最大值.18.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，且AB1，CD2，BC22，PA1，ABBC，N为PD的中点．第3页/共4页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AN//平面PBC；（2）求二面角BPCD的正弦值．19.设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1b13，b2a3，b34a23.（Ⅰ）求an和bn的通项公式；1,n为奇数,*（Ⅱ）设数列cn满足cn求a1c1a2c2a2nc2nnN.bnn为偶数,220.已知函数f(x)exx22ax1)若a=1,求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围na21.设a是首项为1的等比数列，数列b满足bn．已知a，3a，9a成等差数列．nnn3123（1）求an和bn的通项公式；Sn（2）记S和Tn分别为a和b的前n项和．证明：T．nnnn2122.已知函数f(x)x3x23ax(aR).3（1）若f(x)在x=1时有极值，求a的值；（2）在直线x1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线yf(x)相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司2023～2024学年度第一学期阶段联测高三数学试题考试时间120分钟总分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）Axx3Bxx5x20ðAIB1.设集合，，则R（）A.,2B.3,5C.2,3D.3,5【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得集合B，然后由集合的运算法则计算．【详解】由题意B{x|2x5}，ðRA{x|x3}，所以ðRAIB{x|3x5}．故选：B．2.若复数ai1ai2，则实数a（）A.1B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等列式求解.【详解】因为ai1ai2a1a2i2，2a2可得2，解得a1.1a0故选：C.213.已知实数a0,b1满足ab＝5，则的最小值为（）ab1322342322342A.B.C.D.4466【答案】A【解析】【分析】第1页/共25页学科网（北京）股份有限公司21121所求的分母特征，利用ab＝5变形构造a(b1)4，再等价变形()[a(b1)]，ab14ab1利用基本不等式求最值.【详解】解：因为a0,b1满足ab＝5，21211则()ab1ab1ab1412b1a13(322)，4ab142b1a当且仅当时取等号，ab1故选：A．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.4.函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（）5exex5sinxA.B.2x22x15exex5cosxC.D.2x22x1【答案】D【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,)上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(2)f(2)0，第2页/共25页学科网（北京）股份有限公司5sin(x)5sinx由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；(x)21x215(exex)5(exex)当x0时0、0，即A、C中(0,)上函数值为正，排除；x22x22故选：Dsin1sin25.若tan2，则（）sincos6226A.B.C.D.5555【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1sin2cos2)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：sin1sin2sinsin2cos22sincossinsincossincossincossinsincostan2tan422．sin2cos21tan2145故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．26.已知数列an满annn（nN），且对任意nN，anan1恒成立，则实数的取值范围为（）A.0,B.,0C.2,D.3,【答案】D【解析】【分析】根据数列单调性结合二次函数的性质分析求解.【详解】由题意可知：aaa，且yx2x开口向上，对称轴为x，1232第3页/共25页学科网（北京）股份有限公司3可得，解得3，22所以实数的取值范围为3,.故选：D.7.已知a6ln5，b7ln4，c8ln3，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】对a,b,c两边取对数，得到lnaln5ln6，lnbln4ln7，lncln3ln8，构造fxlnxln11x，3x5，求导后再令gxxlnx，研究其单调性，得到fxlnxln11x在3x5上单调递增，从而得到lnclnblna，结合ylnx在0,上的单调性求出答案.【详解】a6ln5，b7ln4，c8ln3两边取对数得：lnaln5ln6，lnbln4ln7，lncln3ln8，令fxlnxln11x，3x5，1lnx11xln11xxlnx则fxln11x，x11xx11x令gxxlnx，3x5，则gx1lnx0在3x5上恒成立，所以gxxlnx在3x5上为增函数，因为当3x5时，11xx恒成立，所以11xln11xxlnx0在3x5上恒成立，11xln11xxlnx故fx0在3x5上恒成立，x11x故fxlnxln11x在3x5上单调递增，所以f3f4f5，故ln3ln8ln4ln7ln5ln6，第4页/共25页学科网（北京）股份有限公司即lnclnblna，因为ylnx在0,上单调递增，所以cba.故选：A【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对a6ln5，b7ln4，c8ln3两边取对数得：lnaln5ln6，lnbln4ln7，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的.x8.已知函数fxx1e，若函数Fxf2