2023年12月绵阳南山中学高2021级高三上期12月月考文科数学试题命题人：刘群建审题人：李盛锦一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，则a11A.B.C.1D.1221i2.已知复数z，则zz22iA.iB.iC.0D.113.若抛物线xy2（p0）的焦点到直线yx1的距离等于2，则p2pA.1B.4C.22D.2若a，，则a3b4.25log83b4255A.25B.5C.D.935.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一。书中有这样一道1题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较7小的两份之和，则最小1份为510511A.B.C.D.33666.在菱形ABCD中，若AC2，则CAABA．2B．2C．ABcosAD．与菱形的边长有关7.过点（0，2）且与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角为，则sin15106A.1B.C.D.444第1页共4页x2y28.已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆a2b2(x2)2(y3)21交于A、B两点，则AB5253545A.B.C.D.55559.记函数f(x)sin(x)b（0）的最小正周期为T，423若T且yf(x)的图像关于点（，2）中心对称，32则f()235A.1B.C.D.32210.执行如图所示的程序框图,输出的结果是54A.B.C.1D.243x2y211.椭圆C：1（ab0）的左顶点为A，点P、Q均在C上且关于y轴对称。a2b21若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为43211A.B.C.D.222312.设函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x[1,2]时9f(x)ax2b，若f(0)f(3)6，则f()29375A.B.C.D.4242二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．2x213.过点(2，2)且与双曲线y1有相同渐近线的双曲线的方程是2第2页共4页xy014.若x,y满足约束条件2xy0，则z3x2y的最大值为x115.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米。若行车道总宽度AB为6米，则车辆通过隧道的限制高度是米（精确到0.1米）16.已知抛物线C：x24y的焦点为F，直线l为：xy20，设点P为l上的一个动点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则AFBF的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分12已知数列满足，且17.（本小题满分为12分）an1a11.an1an1(1)证明：数列1为等比数列；an1设，求数列的前项和(2)bn2n{bn}nSnan18.（本小题满分为12分）在平面直角坐标系XOY中,曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线xya0交于A,B两点,且OAOB,求a的值。第3页共4页19.（本小题满分为12分）已知函数f(x)cos2x3sinxcosx(0)的最小正周期为.2（1）求f()的值；3（2）已知a,b,c分别为ABC中角A、B、C的对边，且满足a3，f(A)1，求ABC的周长l的最大值。x2y220.（本小题满分为12分）已知长轴长为22的椭圆C：1(ab0)的左、a2b2右焦点分别为，且以线段为直径的圆与椭圆恰有两个公共点．F1，F2F1F2C(1)求椭圆C的方程；若经过点的直线与交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，(2)F2lCMNMNOPQ求四边形MNPQ的面积S的最大值．21．（本小题满分为12分）已知函数f(x)lnxax2x(a0)．(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；若函数有两个极值点，，证明：(2)f(x)x1x2f(x1)f(x2)32ln2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]1π已知直线l经过点P(,1)，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为2cos()264(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)tx2tx1，t∈R.(1)当t1时，解不等式f(x)≤1；(2)若对任意实数t，f(x)的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a＋b＋c＝m时，abcm第4页共4页2023年12月绵阳南山中学高2021级高三上期12月月考文科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分题号123456789101112答案CBDCABBDACAD12.解：因为f(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)……①因为f(x2)为偶函数，所以f(x2)f(x2)……②令x1，由①得f(0)f(2)(4ab)，由②得f(3)f(1)ab因为f(0)f(3)6，所以(4ab)ab6，∴a2，令x0，由①得f(1)0，即b2；所以f(x)2x22。9135由两个对称性可知f(x)的周期为4，所以f()f()f()2222二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．y2x2913.114.715.3.216.242解：设点（），（），（），则，，16.Ax1,y1Bx2,y2Px0,y0AFy11BFy21由题直线AB的方程为，AFBFy1y2y1y21，x0x2(yy0)xx2(yy)所以由00有222，2y(2y0x0)yy00x4y所以2，2。因为点为上的一个动点，所以，y1y2x02y0y1y2y0Plx0y02所以2AFBFy1y2y1y212y02y0519所以当y时AFBF取得最小值022三、解答题：第1页共4页17.（本小题满分为12分）12111(1)证明因为－＝1，所以＋1＝2(1)，又＋1＝2，＋n＋1an1aan1ana1所以数列1为等比数列，且首项为2，公比为2.an1解由知1＋＝n，所以＝n＋－(2)(1)12bn2n22n1.naann2(12)n(12n1)＋所以S＝2n1＋n2－2.n12218.解析(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为22=3.2222所以圆C的方程为(x-3)+(y-1)=9.23+(t−1)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:�-�+�=0,消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.2由已知可得2,判别式Δ=56-16a-4a2>0.(�-3)+(y−1)=9.因此x1,2=,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①22(8-2�)±56−16�-4��-2a+12由于OA⊥OB,可得4x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,2所以2x1x2+a(x1+x2)+a=0.②由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.1319.解：（Ⅰ）f(x)(1cos2x)sin2x…………………2分221sin(2x),……………………3分262π因为f()x最小正周期为π,所以π，解得ω1……………………4分2ω,π1所以f(x)sin(2x),………………5分622π1所以f().……………………6分32113（Ⅱ）由f(A)1得sin(2A)，∵2A（，），626665∴2A∴A663∵a3,∴由余弦定理有(3)2b2c22bccos，3bc即(bc)233bc3()2，∴bc23（当且仅当bc时取“=”），2故labc33，即ABC为等边三角形时，周长有最大值33第2页共4页20.解(1)由题意可得2a＝22，且b＝c，又c2＝a2－b2，所以可得a2＝2，b2＝1，x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1.2(2)由(1)可得右焦点F2(1,0)，再由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x＝my＋1，联立直线与椭圆的方程可得整理可得(2＋m2)y2＋2my－1＝0，x2＋2y2＝2，－2m－1所以y1＋y2＝，y1y2＝，由题意可得四边形MNPQ为平行四边形，2＋m22＋m22－124m1所以S＝4S△OPQ＝4××|OF2|×|y1－y2|＝2×1×y1＋y2－4y1y2＝2－4·22＋m222＋m21＋m211＝42＝42≤42＝22，2211＋1＋m1＋m2＋＋22＋21＋m21当且仅当1＋m2＝，即m＝0时取等号，所以四边形MNPQ面积的最大值为22.1＋m221．(1)解∵函数f(x)＝－lnx－ax2＋x(a≥0)，12ax2－x＋1－2ax2＋x－1∴f′(x)＝－－2ax＋1＝－＝，x>0，xxxx－1∵a≥0，∴当a＝0时，f′(x)＝，x>0，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴当x＝1时，f(x)有极小值；1当a≥时，Δ≤0，故f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故此时f(x)无极值；811－1－8a1＋1－8a当00，方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2.可得x1＝，x2＝，84a4a1－1－8a1＋1－8a0，，＋∞易知00，f(x)单调递增；∴f(x)在x＝x1处有极小值，在x＝x2处有极大值．11综上所述：当a＝0时，f(x)有1个极值点；当a≥时，f(x)没有极值点；当0g8＝3－2ln2，∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.22．(10分)1π13x＝＋tcos，x＝＋t，2622解直线的参数方程为为参数，即为参数，(1)lπ(t)1(t)y＝1＋tsiny＝1＋t62πθ－由ρ＝2cos4可得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，11x－y－1所以x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为22＋22＝.213x＝＋t，1122x－y－把代入2＋2＝1，得2＋1－1＝(2)122t