北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期中质量检测高三数学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.3若，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A B. C. D.5.函数的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.6.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知平面内四个不同的点满足，则（）A. B. C.2 D.38.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）A. B.1 C. D.9.已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10.已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数，则的最小正周期是__________．12.已知单位向量，满足，则向量与向量的夹角的大小为__________．13.设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为__________．14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为．如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即．若为圆心角，，则__________15.如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，且，给出下列四个结论：①动点的轨迹是一段圆弧；②动点的轨迹与没有公共点；③三棱锥的体积的最小值为；④平面截该正方体所得截面的面积的最大值为．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知是递增的等比数列，其前项和为，满足．（1）求的通项公式及；（2）若，求最小值．17.在中，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．18.如图，三棱锥中，平面．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．19已知函数．（1）若，求在区间上的最小值和最大值；（2）若，求证：在处取得极小值．20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；（3）试比较与的大小，并说明理由．21.已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：①；②对任意，存在，使得，则称为数表．（1）判断是否为数表，并求的值；（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；（3）证明：对任意数表，存在，使得．