江油中学2021级高三上9月月考数学（理）试题第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（    ）A．B．C． D．2．已知命题，命题，则（    ）A．“”是假命题B．“”是真命题C．“”是假命题 D．“”是真命题3．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（    ）A． B． C． D．4．函数的图象大致形状为（    ）．A．B．C．D．5．已知，则（    ）A．B．C． D．6．如右图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（    ）A．4 B．37 C．148 D．3337.已知函数，若，则（    ）A． B． C． D．1已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（    ）．A．B．C． D．9．函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（    ）A．B．C． D．10．已知二次函数，且不等式的解集为.若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ）A.B.C.D.11．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（    ）A．14 B．13 C．12 D．1112．已知，，，则（）A．B．C． D．第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．设函数．14.若，则．16．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是.①；②；③；④.15．定义在上的函数满足是偶函数，且，若，则.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17．在平面直角坐标系：中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.(1)若，求tanα及的值；(2)若，求点P的坐标.18．已知函数在处取得极值0.(1)求；(2)若过点存在三条直线与曲线相切，求买数的取值范围.19．“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本万元，且，每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出.(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润销售收入成本）；(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.20．已知函数=（m）是定义在R上的奇函数(1)求m的值;(2)根据函数单调性的定义证明在R上单调递增;(3)若对，不等式)0恒成立，求实数k的取值范围.21.已知函数．(1)当时，求函数在区间上的最大值；(2)若为函数的极值点，求证：（二）选考题（共10分，请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，是经过点且倾斜角为的直线，曲线的极坐标方程为．(1)求的极坐标方程；(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，，求．23．已知函数.(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2)若的最小值为1，求的值。江油中学2021级高三上9月月考数学（理）试题参考答案：1.D2．D3．A4.B5．D6．B7.A8.A9C10.B11.C12．D11．C【详解】因为，则，所以是周期为2函数，因为时，则、的图象如下：时且递增，时且递减，时且递增，又，，，    由图知：区间上函数交点共有12个．12．D【详解】令，，则，故在上单调递减，所以，即，即，故；令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，令，所以，所以在上单调递增，，所以，所以；综上：.二、填空题13.614．015．/16．①②④16．①②④【详解】设，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为，且当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；因为，则，由图可知，则，所以，，①对；令，其中，由图可知，，当时，，则，此时函数单调递减，所以，，即，因为，，且函数在上单调递减，所以，，则，故，③错④对.故答案为：①②④.三、解答题17．(1)；(2)【详解】（1）若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，若，则，则，可得，（2）由题意又，①两边平方，可得，可得，可得，②联立①②，可得所以点P的坐标为.18．(1)(2)【详解】（1）由题意知，因为函数在处取得极值0，所以，解得，经检验，符合题意，所以；（2）由（1）可知，函数，所以，设切点坐标为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，即，令，则，令，解得，或，当变化时，的变化情况如下表所示，1-0+0-单调递减单调递增0单调递减因此，当时，有极小值，当时，有极大值，过点存在3条直线与曲线相切，等价于关于的方程有三个不同的根，则，所以实数的取值范围是.19．(1)(2)当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元【详解】（1）∵，∴当时，.当时，.综上所述，.（2）由（1）得∴当时，∴当时，（万元）当时，（万元）当且仅当，即时等号成立.又.故当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元.20．(1)；(2)证明见解析；(3)．【详解】（1）是奇函数，∴，，时，，满足，是奇函数，所以；（2）设任意两个实数满足，则，∵，∴，，∴，即，所以在R上为单调递增；（3）原不等式化为，∵是奇函数，∴不等式化为，又是增函数，所以，∴问题转化为，恒成立，设，，，即时，，．，即时，，无解；，即时，，无解；综上，．21.【详解】（1）定义域为，则，当时，，，所以单调递增区间为，单调递减区间为；若，；若，；若，.所以，（2）（）则，因为是函数的极值点，所以，即：，要证，只需证，即证：，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即：，所以，所以，①当时，因为，，所以.②当时，因为，所以，所以，要证，只需证，即证对任意的恒成立，令（），则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即当时，成立.综述：原不等式成立.22．(1)(2)【详解】（1）由题意得的直角坐标方程为，即，化为极坐标方程为，化简得.（2）曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，，由，解得，由，解得，所以.23．(1)(2)或【详解】（1）当时，因为，所以，，不合题意；当时，由，得，得，，因为时，恒成立，所以，解得.（2），因为，令，得；令，得，若，则，则，则在上为减函数，在上为增函数，在上为增函数，所以，解得；若，则，，不符合题意；当时，，则，则在上为减函数，在上为增函数，在上为增函数，所以，解得；