南京一中2023-2024学年度第一学期10月考试试卷高三数学命题人:张志军校对人:赵泽旭审核人:张志军一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x∈Z|31-x∈N},B={x∈Z|x2-x-6≤0}，则A∩B=(    )A.{0,2} B.{-2,0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2,4}【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．利用列举法表示集合A，B，再利用交集的定义求解作答．【解答】解：因为A={x∈Z|31-x∈N}={-2,0} ，B={x∈Z|x2-x-6⩽0}={x∈Z|-2⩽x⩽3}={-2,-1,0,1,2,3} ，所以 A∩B={-2,0}，故选：C2.若z-11-i=1+2i(i为虚数单位)，则|z-1|=(    )A.22 B.10 C.5 D.2【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查复数的运算法则和复数的模，属于基础题．【解答】解：，所以|z-1|=32+12=10．3.设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(    )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查充分必要条件的判断，属于中档题．【解答】解： ①充分性证明：若{an}为递增数列，则有对∀n∈N*，an+1>an，公差d=an+1-an>0，故数列中从某项开始后均为正数且数列递增，则存在正整数N0，当n>N0时，an>0，充分性成立； ②必要性证明：若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，∵an=a1+(n-1)d，若d<0，则数列中从某项开始后均为负数，此时无法满足存在正整数N0，当n>N0时，an>0，又d≠0，若d>0，此时{an}为递增数列，则存在正整数N0，当n>N0时，an>0，可满足条件，所以“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的充要条件．4.已知a=0,5,b=2,-1，则b在a上的投影向量的坐标为(    )A.0,1 B.-1,0 C.0,-1 D.1,0【答案】C 【解析】【分析】本题考查投影向量的定义及运算，属基础题．根据投影向量的定义即可求解．【解答】解： b 在 a 上的投影向量为 bcosa⋅baa=a⋅ba×aa=-55×0,1=0,-1 ，故选：C5.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB=AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'=40cm，B为AD'中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值为(    )A.-1725 B.-42125 C.-35 D.-825【答案】A 【解析】【分析】本题二倍角公式及其应用，解三角形的实际应用，属于基础题．根据题意求出AD的值，得出AE，求出cos∠BAE，利用二倍角公式cos∠BAC=2cos2∠BAE-1，即可求出结果. 【解答】解：∵B为AD'中点，∴AB=12AD'，∵AD'=40cm，∴AB=20cm，如图：过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=BD，∴AD=2AE，因为伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，所以AD=40-24=16cm，所以AE=8cm，所以cos∠BAE=AEAB=820=25，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE，∴cos∠BAC=2cos2∠BAE-1=2×425-1=-1725．故选A．6.函数f(x)=12x2-xsin x的大致图象可能是(    )A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，考查函数奇偶性、单调性的判断，属于中档题．判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的性质，运用排除法进一步得解．【解答】解：因为f-x=12-x2--xsin-x=12x2-xsinx=fx，定义域为R，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A、B；当00,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为(    )A.2 B.2 C.52 D.3【答案】B 【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．由三角形面积公式得|F1Q||F2Q|=53，利用角平分线得|PF1||PF2|=|F1Q||F2Q|=53，再根据双曲线的定义，结合题意，即可得出答案．【解答】解：作出图形，如图所示：∵PF2⊥F1F2，，即|F1Q||F2Q|=53，∵PQ是∠F1PF2的平分线，∴|PF1||PF2|=|F1Q||F2Q|=53，设双曲线半焦距为c(c>0)，故P点横坐标为c，代入双曲线方程，可得|PF2|=b2a，则|PF1|=|PF2|+2a=b2a+2a，∴b2a+2ab2a=53，整理得b2=3a2，故c2-a2=3a2，即c2=4a2，∴c=2a，即e=ca=2．故选：B．8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱C1D1上的一动点，记直线BC1与平面A1BE所成的角为θ，则cos θ得最小值为(    )A.12 B.22 C.32 D.1【答案】C 【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，利用空间向量求线面的夹角，考查计算能力，属于中档题由题意，如图建立空间直角坐标系，不妨设|AD|=1，|D1E|=a(0⩽a⩽1)，求出平面A1BE的一个法向量n，则sinθ=n·BC1nBC1=1-a2×a2+2，求出最大值即可求出cos θ得最小值．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AD|=1，|D1E|=a(0⩽a⩽1)，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E(0,a,1)，C1(0,1,1)，则A1B=(0,1,-1)，A1E=(-1,a,0)，BC1=(-1,0,1)，设平面A1BE的一个法向量为n=(x,y,z)，由n·A1B=0n·A1E=0，得y-z=0-x+ay=0，令y=1，则n=(a,1,1)，所以，sinθ=n·BC1nBC1=1-a2×a2+2，令t=1-a(0⩽t⩽1)，则sinθ=22×tt2-2t+3=22×13t2-2t+1，所以，当t=1时，(sinθ)max=12，(cosθ)min=32．故选C．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )A.图中a的值为0.015B.估计这40名学生考试成绩的众数为75C.估计这40名学生考试成绩的中位数为82D.估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为85【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图、众数、中位数、百分位数，属于基础题．对于A，根据频率之和为1计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可．【解答】解：根据频率和等于1得：10a=1-10×(0.010+0.035+0.03+0.01)=0.15，∴a=0.015，故A正确；由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数也为75，故B正确；0.010×10+0.015×10=0.25，0.010×10+0.015×10+0.035×10=0.6，可知中位数落在[70,80)内，即中位数的估计值不是82，故C错误；上图各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，上四分位数在80,90内，设第75百分位数约为x，则：0.1+0.15+0.35+(x-80)×0.03=0.75，得x=85，故D正确．10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[π2,π]上是单调函数，且f(0)=f(π)=-f(-π2)，则ω的可能取值为(    )A.23 B.2 C.13 D.1【答案】AB 【解析】【分析】本题考查了正弦函数的周期性以及单调性，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．由已知单调区间可判断周期的范围，进而可以得出ω的范围，然后再对周期讨论求出对应的ω的可能值．【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)[π2,π]上是单调函数，∴T2=12⋅2πω≥π-π2，∴T≥π，且ω≤2．∵f(0)=f(π)，故x=π2是函数的图象的一条对称轴，∴ω×π2+φ=kπ+π2，k∈Z．∵f(0)=-f(-π2)，∴所以f(x)图象的一个对称中心是(-π4,0)，若T4=π2ω=π2+π4，求得ω=23；若3T4=34⋅2πω=π2+π4，求得ω=2．故选：AB．11.过抛物线C：y2=2px上一点A(1,-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则(    )A.C的准线方程是x=-4B.过C的焦点的最短弦长为8C.直线MN过定点(0,4)D.当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=0【答案】AD 【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的综合，需要学生较强的综合能力，属于中档题．将A(1,-4)代入C中，即可求解抛物线方程，判断AB；设M(y1216,y1)，N(y2216,y2)，直线MN为x=my+n，并联立抛物线方程可得，y2-16my-16n=0，结合韦达定理以及向量的数量积公式，判断C；由选项C分析所得的定点P，要使点A到直线MN的距离最大有MN⊥AP，即可写出直线MN的方程，判断D．【解答】解：将A(1,-4)代入抛物线C中得p=8，则抛物线C为y2=16x，故抛物线C的准线方程为x=-4，故A正确，当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B错误，设直线MN为x=my+n，M(y1216,y1)，N(y2216,y2)，联立抛物线可得，y2-16my-16n=0，∴y1+y2=16m，y1y2=-16n，∵AM⊥AN，∴AM⋅AN=(y1216-1,y1+4)⋅(y2216-1,y2+4)=(y12-16)(y22-16)256+(y1+4)(y2+4)=0，∵y1≠-4，y2≠-4，∴(y1+4)(y2+4)≠0，∴(y1-4)(y2-4)256+1=0，化简整理可得，y1y2-4(y1+y2)+272=0，∴-16n-64m+272=0，得n=-4m+17，∴直线MN为x=m(y-4)+17，∴直线MN过定点P(17,4)，故C错误，当MN⊥AP时，点A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2x+y-38=0，故D正确．故本题选AD．12.已知a>b>0，a+b=1.则下列结论正确的有(    )A.a+2b的最大值为32 B.22a+22b+1的最小值为4​2C.a+sinb<1 D.b+lna>0【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了最值问题和利用导数研究单调性，基本不等式，属于中档题．先得出0