南京一中2023-2024学年度第一学期10月考试试卷2023.10高三数学命题人:张志军校对人:赵泽旭审核人:张志军一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x∈Z|31-x∈N},B={x∈Z|x2-x-6≤0}，则A∩B=(    )A.{0,2} B.{-2,0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2,4}2.若z-11-i=1+2i(i为虚数单位)，则|z-1|=(    )A.22 B.10 C.5 D.23.设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(    )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a=0,5,b=2,-1，则b在a上的投影向量的坐标为(    )A.0,1 B.-1,0 C.0,-1 D.1,05.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB=AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'=40cm，B为AD'中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值为(    )A.-1725 B.-42125 C.-35 D.-8256.函数f(x)=12x2-xsin x的大致图象可能是(    )A. B.C. D.7.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，S△PF1QS△PF2Q=53，则双曲线E的离心率为(    )A.2 B.2 C.52 D.38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱C1D1上的一动点，记直线BC1与平面A1BE所成的角为θ，则cos θ得最小值为(    )A.12 B.22 C.32 D.1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )A.图中a的值为0.015B.估计这40名学生考试成绩的众数为75C.估计这40名学生考试成绩的中位数为82D.估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为8510.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[π2,π]上是单调函数，且f(0)=f(π)=-f(-π2)，则ω的可能取值为(    )A.23 B.2 C.13 D.111.过抛物线C：y2=2px上一点A(1,-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则(    )A.C的准线方程是x=-4B.过C的焦点的最短弦长为8C.直线MN过定点(0,4)D.当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=012.已知a>b>0，a+b=1.则下列结论正确的有(    )A.a+2b的最大值为32 B.22a+22b+1的最小值为42C.a+sinb<1 D.b+lna>0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知3人都在2至6层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是          ．14.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的持续时间为          h.15.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=          ．16.若关于x的不等式a(x+1)ex-x<0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为          ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=b(3sinC+cosC)．(1)求B；(2)已知BC=23，D为边AB上的一点，若BD=1，∠ACD=π2，求AC的长．18.(本小题12.0分)数列{an}满足a1=1，an+13an=1+1n．(1)设bn=n2-7nan，求{bn}的最大项；(2)求数列{an}的前n项和Sn．19.(本小题12.0分)如图．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=BC=2，平面A1BC⊥平面ABB1A1．(1)求点A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，求平面ABD与平面CBD夹角的正弦值．20.(本小题12.0分)科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(1)求方案甲化验次数X的分布列；(2)判断哪一个方案的效率更高，并说明理由．21.(本小题12.0分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点A(-1,32)在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求 PM+PNPF的取值范围．22.(本小题12.0分)已知函数f(x)=ex+xsinx+cosx-ax-2(a∈R)．(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立，求a的取值范围．