2012年湖南省常德市中考数学试卷一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚1．（3分）若向东走5米记作+5米，则向西走5米应记作 米．2．（3分）我国南海海域的面积约为3500000km2，该面积用科学记数法应表示为 km2．3．（3分）因式分解：m2﹣n2＝ ．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距离是 ．5．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．6．（3分）已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差S2甲＝1.3275，乙种棉花的纤维长度的方差S2乙＝1.8775，则甲、乙两种棉花质量较好的是 ．7．（3分）若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为 厘米．8．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[]的值为 ．二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚9．（3分）若a与5互为倒数，则a＝（ ）A． B．5 C．﹣5 D．10．（3分）如图所给的三视图表示的几何体是（ ）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．圆台11．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）A．a3•a4＝a12 B．a10÷a2＝a5 C．a2+a3＝a5 D．4a﹣a＝3a12．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|+b＜0 D．a﹣b＞013．（3分）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为（ ）A．外切 B．内切 C．外离 D．相交14．（3分）对于函数，下列说法错误的是（ ）A．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小15．（3分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤4 D．16．（3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（ ）A．2 B． C． D．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程组：四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）化简：．20．（6分）在一个不透明的口袋中装有3个带号码的球，球号分别为2，3，4，这些球除号码不同外其它均相同．甲、乙、两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再甲乙同学从中随机摸出一球，记下球号．将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数．若该两位数能被4整除，则甲胜，否则乙胜．问：这个游戏公平吗？请说明理由．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？（结果保留根号）22．（7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：A种产品B种产品成本（万元/件）0.60.9利润（万元/件）0.20.4若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）某市把中学生学习情绪的自我控制能力分为四个等级，即A级：自我控制能力很强；B级；自我控制能力较好；C级：自我控制能力一般；D级：自我控制能力较差．通过对该市农村中学的初中学生学习情绪的自我控制能力的随机抽样调查，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．（1）在这次随机抽样调查中，共抽查了多少名学生？（2）求自我控制能力为C级的学生人数；（3）求扇形统计图中D级所占的圆心角的度数；（4）请你估计该市农村中学60000名初中学生中，学习情绪自我控制能力达B级及以上等级的人数是多少？24．（8分）如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）四边形BOAD是菱形．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN＝CP；②OP＝ON，且OP⊥ON；（2）设AB＝4，BP＝x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．26．（10分）如图，已知二次函数y＝（x+2）（ax+b）的图象过点A（﹣4，3），B（4，4），且与x轴交于C，D两点（C在D点左侧）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2012年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚1．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以向东走5米，记作+5米，则向西走5米，记作﹣5米．故为﹣5．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．故答案为：3.5×106．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】运用a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解即可．【解答】解：原式＝（m+n）（m﹣n），故答案为（m+n）（m﹣n）．【点评】考查因式分解的知识；若只有两项，又没有公因式，应考虑用平方差公式分解．4．【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD＝ED，代入求出即可．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝2（角平分线性质），故答案为：2．【点评】本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．5．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x﹣4≥0，解得x≥4，则自变量x的取值范围是x≥4．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．6．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S2甲＝1.3275，S2乙＝1.8775，∴S甲2＜S乙2，则棉花质量较好的是甲．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．【分析】根据梯形的中位线平行于上下两底且等于上下两底和的一半进行计算．【解答】解：∵梯形的上、下底的长分别是10米和30厘米，∴梯形的中位线的长＝（10+30）÷2＝20cm．故答案为20．【点评】本题主要考查梯形中位线定理，是基础知识比较简单．8．【分析】求出的范围，求出+1的范围，即可求出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定+1的范围，题目比较新颖，是一道比较好的题目．二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚9．【分析】根据倒数的定义，即可得到5的倒数．【解答】解：∵a与5互为倒数，∴a＝．故选：A．【点评】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．10．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：B．【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．11．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a3•a4＝a7，故本选项错误；B、应为a10÷a2＝a8，故本选项错误；C、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、4a﹣a＝3a，正确．故选：D．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及合并同类项，比较简单．12．【分析】根据数轴得出﹣2＜a＜﹣1，b＞2，根据a、b的范围，即可判断每个式子的值．【解答】解：A、∵根据数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，b＞2，∴a+b＞0，故本选项正确；B、∵根据数轴可知：a＜0，b＞2，∴ab＜0，故本选项错误；C、∵根据数轴可知a＜0，b＞2，∴|a|＞0，∴|a|+b＞0，故本选项错误；D、∵根据数轴可知：a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了数轴和实数的应用，关键是能根据a、b的取值范围判断每个式子是否正确，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．13．【分析】由于2+4＝6＜7，即两圆半径之和小于圆心距，根据圆与圆的位置关系的判定即可得到它们外离．【解答】解：∵2+4＝6＜7，即两圆半径之和小于圆心距，∴两圆外离．故选：C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d＝R+r，两圆外切；若R﹣r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d＝R﹣r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R﹣r（R＞r），两圆内含．14．【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵函数y＝中k＝6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；B、∵函数y＝是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝xk（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．15．【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，∴b2﹣4ac＝22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）