2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE．解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，∴17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即PG=1，∴GC=4，∵DP=2AP=4，∴AD=6，∴S△ACDAD×CG6×4=12．（2）证明：连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF，∴BF=AF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM，∴CM=NE，又∵NFNEMC，∴AFMC+EC，∴ADMC+2EC．2．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，∴∠DFC=∠C=60°，∴∠DFC=∠A，∴DF∥AB．（2）存在，如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2∴DF=2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，∴MD=2，∴S△ABF的最小值6×（22）=66，∴S最大值2×3（66）=-36．（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，∵GD⊥EF，∠EFD=60°，∴FG=1，DGFG，∵BD2=BG2+DG2，∴16=3+（BF+1）2，∴BF1，∴BG，∵EH⊥BC，∠C=60°，∴CH，EHHCEC，∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，∴△BGD∽△BHE，∴，∴，∴EC1，∴AE=AC-EC=7．3．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC．（2）∵△PAB∽△PBC，∴，在Rt△ABC中，AB=AC，∴，∴，∴PA=2PC．（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°，又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3=2h2，∵△PAB∽△PBC，∴，∴，∴．即：h12=h2·h3．4．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG．①当tan∠ACF时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；②求的最大值．解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°，∴∠BDA=90°，∵OA=OB，∴OD=OB=OA，∴∠OBD=∠ODB，∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，即∠EBO=∠EDO，∵CB⊥x轴，∴∠EBO=90°，∴∠EDO=90°，∵点D在⊙E上，∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC，∴∠ANF1=∠ABC=90°，∴△ANF∽△ABC，∴，∵AB=6，BC=8，∴AC10，即AB∶BC∶AC=6∶8∶10=3∶4∶5，∴设AN=3k，则NF1=4k，AF1=5k，∴CN=CA-AN=10-3k，∴tan∠ACF，解得：k，∴，，即F1（，0）．如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC，∴设AM=3k，则MF2=4k，AF2=5k，∴CM=CA+AM=10+3k，∴tan∠ACF，解得：，∴AF2=5k=2，OF2=3+2=5，即F2（5，0），故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②方法1：如图4，∵CB为直径，∴∠CGB=∠CBF=90°，∴△CBG∽△CFB，∴，∴BC2=CG·CF，CF，∵CG2+BG2=BC2，∴BG2=BC2-CG2，∴，∴，令y=CG2（64-CG2）=-CG4+64CG2=-[（CG2-32）2-322]=-（CG2-32）2+322，∴当CG2=32时，，此时CG=4，．方法2：设∠BCG=α，则sinα，cosα，∴sinαcosα，∵（sinα-cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα，∵sin2α+cos2α=1，∴sinαcosα，即，∴的最大值．5．（2019宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB=90°，∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，∴△QBM∽△ABC．（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，∴四边形BMNQ为平行四边形．（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC5，∵△QBM∽△ABC，∴，即，解得，QMx，BMx，∵MN∥BC，∴，即，解得，MN=5x，则四边形BMNQ的面积（5x+x）x（x）2，∴当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．6．（2019江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°，故答案为：60°．（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB，故答案为：=．②证明：如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，∵EF=EA，∠FAE=60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA=FE，在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上．（3）如图，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠AGF=60°，∴∠FGE=∠AGE=30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AH=GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，∴BC=GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB=AN=NE，∴GE=3AB，∴3．7．（2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE．（2）①证明：∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由（1）可得△PDE≌△QCE，∴CQ=PD=x，∴BQ=BC+CQ=1+x，∵点E、F分别是PQ、PB的中点，∴EF是△PBQ的中位线，∴EFBQ，由①知AP=EF，即1-x，解得x，∴PD，AP，在Rt△PDE中，DE，∴PE，∴AP≠PE，∴四边形AFEP不是菱形．8．（2019陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）解：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8．（3）可以，如图所示，连接BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴