椭圆必会十大基本题型讲与练09椭圆与平面向量的交汇问题典例分析角度一、以共线向量为条件情景命题1、设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为，点满足．(1)求点的轨迹方程；(2)设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．2、已知椭圆的右焦点为，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于，两点（点在轴的上方）（1）求椭圆的方程；（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.3、已知椭圆,其左右顶点分别为,,上下顶点分别为,.圆是以线段为直径的圆.(1)求圆的方程;(2)若点,是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线,分别交轴于点､,求证:为定值;角度二、以向量运算为情景命题1、已知是椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，且.（1）若椭圆经过圆的圆心，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.2、已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．3、在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．角度三、以向量为问题情景命题1、在直角坐标系xOy上取两个定点A1（，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.（1）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（2）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若（λ＞1），求证：.2．如图，椭圆E：的左、右焦点分别为，，R是椭圆E上任意一点，的取值范围是，动直线l：与椭圆相交于A，B两点.（1）求椭圆E的标准方程：（2）若，B关于y轴的对称点是，证明：；（3）若，B关于y轴的对称点是，试探究：是否成立？说明理由.方法点拨(1)遇到求椭圆标准方程问题，想到定义法或待定系数法，想到二元一次方程组的解法．(2)遇到向量数量积问题，想到向量的坐标表示，向量相等的条件，向量数量积的坐标运算公式．(3)遇到最值问题，想到构造函数求最值或运用基本不等式求最值，或将问题转化为其他相关知识求解，如本题就是将最值转化为一元二次不等式求解．巩固练习1、设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足QUOTENP=2NM．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且QUOTEOP⋅PQ=1．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．2、设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．3、设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.4、设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，．K^S*5U.C#（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程．5、已知椭圆的左顶点为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．6、已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E方程；(2)证明：直线CD过定点．7、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点M(－2,1)，且右焦点为F(eq\r(3)，0)．(1)求椭圆的方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆C于A，B两点，记t＝eq\o(MA,\s\up7(―→))·eq\o(MB,\s\up7(―→))，若t的最大值和最小值分别为t1和t2，求t1＋t2的值．8、已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝0，|eq\o(OC,\s\up7(―→))－eq\o(OB,\s\up7(―→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))|.(1)求椭圆的标准方程．(2)设P，Q为椭圆上不重合的两点且异于A，B，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，问：是否存在实数λ，使得eq\o(PQ,\s\up7(―→))＝λeq\o(AB,\s\up7(―→))？若存在，求出λ取得最大值时PQ的长；若不存在，请说明理由．9、椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积．10．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于P，Q两点；当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时，△F1PQ的周长为4eq\r(2)，且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为eq\f(4,3).(1)求椭圆C的方程；(2)点M为△POQ内一点，O为坐标原点，满足eq\o(MP,\s\up7(―→))＋eq\o(MO,\s\up7(―→))＋eq\o(MQ,\s\up7(―→))＝0，若点M恰好在圆O：x2＋y2＝eq\f(4,9)上，求实数m的取值范围．11、已知椭圆E：的离心率为，且过点.直线l：与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若，求实数m的值.12、已知椭圆M：1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为，过点（0，1）的直线l与M交于A，B两点，且．（1）求M的方程；（2）求点P的轨迹方程．13、已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，若，求直线的方程.14．已知椭圆C：1左右焦点为F1，F2直线（1）xy0与该椭圆有一个公共点在y轴上，另一个公共点的坐标为（m，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上任一点，过焦点F1，F2的弦分别为PM，PN，设λ1λ2，求λ1+λ2的值．15．已知椭圆的离心率为，直线，圆的方程为，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等，椭圆的左顶点为，上顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知经过点且斜率为直线与椭圆有两个不同的交点和，请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.