双曲线必会十大基本题型讲与练04以双曲线为情境的最值或范围问题典例分析类型一：数形结合解决与双曲线交汇的最值问题1．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可.【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为，2．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆上，由此将|BD|的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值问题.【详解】作出图形如图所示，设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为，3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（     ）.A．4 B．5 C．6 D．3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案.【详解】双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.由题意，，由双曲线的定义：，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2=4.类型二：双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题1．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(       )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据直线与双曲线的位置关系，表示出，，可求得，根据基本不等式可得.【详解】设，，由题意得A，关于原点对称，∴，∴，，∴，∴，2．设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（       ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】【分析】首先利用几何关系得到，再利用基本不等式求的最小值，即得焦距的最小值.【详解】设右焦点，其中一条渐近线设为，即，右焦点到渐近线的距离，即，，，的面积的最小值为16，即，，即的最小值是，那么焦距的最小值是，当时等号成立.3．已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准标准方程可知该双曲线的渐近线方程为：，即，设，有，因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，所以有，把代入化简得，，4．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（  ）A．20 B．22 C．24 D．25【答案】C【分析】设直线的方程为与双曲线方程联立求出点坐标，同理设直线的方程为，求出点的坐标，从而得出,在利用均值不等式可得答案.【详解】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，不妨设直线的方程为，则直线的方程为．设，，联立，得，则，，，同理可得，，所以，即，当且仅当时等号成立．【点睛】本题通过查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的应用，解答本题的关键是得到，后，根据表达式的特点，得到，再利用基本不等式求的最小值．属于中档题.类型三：利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围.【详解】由、、成等比数列得，，即.，.设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知，，，.由得，即，则，的取值范围为。2．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．【答案】【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以3．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围.【详解】过点作于，过点作于，因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以.4．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.(1)求双曲线的标准方程；(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）求出点的坐标，结合可求得的值，进一步可求得双曲线的标准方程；（2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，再结合以及可求得实数的取值范围.【解析】(1)，，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为，则，可得，则点,，则，，则，所以，双曲线的标准方程为.(2)由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①，由韦达定理可得，，则，，，，，所以，②，又③，由①②③得：或.类型四：利用函数思想解决与双曲线有关最值或范围问题1．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设点，由，可求出，及的表达式，连接MO，易知，结合，可得，，进而求出的范围即可.【详解】设点，由题意可得，则，则，∴．如下图，O为坐标原点，连接MO，易知，分别为线段，的中点，所以，且，∴，，∵函数在上单调递减，∴，∴.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线中线段的比例关系，解题的关键是通过双曲线的性质、题中几何关系，求得的表达式，进而可求得，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.2．已知实数满足，则的取值范围是____________【答案】【解析】【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.【详解】当，表示椭圆第一象限部分；当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；当，不表示任何图形；以及两点，作出大致图象如图：曲线上的点到的距离为，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，与距离为2，曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，考虑曲线第一象限的任意点设为到的距离，当时取等号，所以，则的取值范围是。3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由题意得AH=AI，F1H=F1J，F2J=F2I，再由双曲线的定义可得：F1H–IF2=2a，进而可得F1J–F2J=2a，设J的横坐标，解出横坐标，设直线AB的倾斜角，则求出ME-NE的表达式，由倾斜角的范围求出其范围.【详解】设直线，，与的内切圆分别相切于点，，，则，，．因为，所以，即，即，设点的横坐标为，则点的横坐标为．因为，，所以，解得，所以点与点重合，且轴；同理，可得轴．设直线的倾斜角为，当时，易得；当时，，，由题可知，所以，又，所以．综上可知，的取值范围为．4．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.(1)若的面积为，求直线AB的方程；(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即可求解；（2）联立直线和双曲线方程，先求出，再根据的范围即可求解.【解析】(1)由题得，解得，所以椭圆的方程为，等轴双曲线的方程为.由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：，联立，消去得，所以，又，所以，则将换成，得，所以，设，由，消去得，，所以得，则，，，所以，解得，所以直线AB的方程为；(2)由，消去得，解得，所以，，，则，，，所以的取值范围为．方法点拨求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．巩固练习1．已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出圆心到的距离，再根据得出答案.【详解】圆的圆心坐标为，设则由此。2．已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意得点在以为直径的圆上或圆内，即，结合为双曲线上一点，然后解不等式即可【详解】要使得，则点在以为直径的圆上或圆内，，又，且，。3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】化简得，消去，解不等式即得解.【详解】，即，即，又，所以，所以，可得。4．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ）A．48 B．49 C．50 D．42【答案】A【解析】【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接，在以为直径的圆上，，，；为双曲线上一点，且，，；【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于点横坐标的函数的最值的求解.4．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题可判断在