圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)1.真题回顾2020新高考I卷2.题型梳理题型1：已知定点求定值题型2：已知定值求定点【例题】2x2已知椭圆+y=1，设直线l不经过P(0,1)点且与C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率4222的和为-1，证明：l过定点．Q(2,-1)1【手电筒模型·1定+2动】x2y2直线y=kx+m与椭圆+=1a>b>0交于A，B两点，P(x0,y0)为椭圆上异于AB的任意一点，a2b2若kAP⋅kBP=定值或kAP+kBP=定值(不为0)，则直线AB会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰k+k手电筒模型)．补充：若y=kx+m过定点，则k⋅k=定值，APBP=定值.APBPk22020·新高考1卷·22x2y221已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A2,1．a2b22(1)求C的方程：(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．题型一已知定点求定值1已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：∠POQ=90°．32x22如图，椭圆E:+y=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于2点A(0,-1)，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．3x2y23已知点A1,，O为坐标原点，E，F是椭圆C:==1上的两个动点，满足直线AE与直线243AF关于直线x=1对称．证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值；4x2y24如图，点F(1,0)为椭圆+=1的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于C､D两43点(C在D的上方)，设点A､B是椭圆E上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.2x25椭圆E:+y=1，A0,-1，经过点1,1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异2于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2．5x2y26已知椭圆C：+=1，过F作斜率为k(k≠0)的动直线l，交椭圆C于M，N两点，43kk若A为椭圆C的左顶点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：+为定值，并求出定值.k1k2题型二已知定值求定点2x21(2017·全国卷理)已知椭圆+y=1，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点．若直线PA422与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点．62x22已知椭圆C:+y=1，设直线l不经过点P(0,1)且与C相交于A，B两点．若直线PA与直线P4222B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点．23已知抛物线C：y=2px(p>0)上的点P(1，y0)(y0>0)到其焦点的距离为2．(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；1(2)若点M、N在抛物线C上，且k•k=-，证明：直线MN过定点.PMPN27x2y234已知椭圆C:+=1，P1,，若直线l交椭圆C于A，B(A，B异于点P)两点，且直线PA与4329PB的斜率之积为-，求点P到直线l距离的最大值．4x2y235已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，椭圆E的短轴长等于4．a2b23x2y2(1)求椭圆E的标准方程；+=164(2)设A0,-1，B0,2，过A且斜率为k1的动直线l与椭圆E交于M，N两点，直线BM，BN分别交⊙22C：x+y-1=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，直线BM，BN的斜率分别为k3，k4．①求证：k3⋅k4为定值；②求证：直线PQ过定点.8