2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B等于( )A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}答案 A解析 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．2．若z(1＋i)＝2i，则z等于( )A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i答案 D解析 z＝QUOTE＝QUOTE＝QUOTE＝1＋i.3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案 D解析 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为QUOTE＝QUOTE.4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8答案 C解析 根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为QUOTE＝0.7.5．函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]上的零点个数为( )A．2B．3C．4D．5答案 B解析 令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于( )A．16B．8C．4D．2答案 C解析 设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.7．已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1答案 D解析 因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以QUOTE解得QUOTE8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案 B解析 取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝QUOTE，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝QUOTE，CP＝QUOTE，所以BM2＝MP2＋BP2＝QUOTE2＋QUOTE2＋22＝7，得BM＝QUOTE，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )A．2－QUOTE B．2－QUOTEC．2－QUOTE D．2－QUOTE答案 C解析 执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝QUOTE，不满足x<ε＝QUOTE，所以s＝1＋QUOTE＝2－QUOTE，x＝QUOTE，不满足x<ε＝QUOTE，所以s＝1＋QUOTE＋QUOTE＝2－QUOTE，x＝QUOTE，不满足x<ε＝QUOTE，所以s＝1＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＝2－QUOTE，x＝QUOTE，不满足x<ε＝QUOTE，所以s＝1＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＝2－QUOTE，x＝QUOTE，不满足x<ε＝QUOTE，所以s＝1＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＝2－QUOTE，x＝QUOTE，不满足x<ε＝QUOTE，所以s＝1＋QUOTE＋QUOTE＋QUOTE＋…＋QUOTE＝2－QUOTE，x＝QUOTE，满足x<ε＝QUOTE.输出s＝2－QUOTE.10．已知F是双曲线C：QUOTE－QUOTE＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案 B解析 由F是双曲线QUOTE－QUOTE＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则QUOTE解得QUOTE所以PQUOTE，所以S△OPF＝QUOTE|OF|·y0＝QUOTE×3×QUOTE＝QUOTE.11．记不等式组QUOTE表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．这四个命题中，所有真命题的编号是( )A．①③B．①②C．②③D．③④答案 A解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y在y轴上的截距．显然，当直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．方法二 取x＝4，y＝5，满足不等式组QUOTE且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．12．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A．f QUOTE>f (QUOTE)>f (QUOTE)B．f QUOTE>f (QUOTE)>f (QUOTE)C．f (QUOTE)>f (QUOTE)>f QUOTED．f (QUOTE)>f (QUOTE)>f QUOTE答案 C解析 根据函数f(x)为偶函数可知，fQUOTE＝f(－log34)＝f(log34)，因为0<QUOTE<QUOTE<20f (QUOTE)>f QUOTE.二、填空题13．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.答案 －QUOTE解析 ∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝QUOTE＝2QUOTE，|b|＝QUOTE＝10.∴cos〈a，b〉＝QUOTE＝QUOTE＝－QUOTE.14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.答案 100解析 ∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝QUOTE＝QUOTE＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋QUOTEd＝100.15．设F1，F2为椭圆C：QUOTE＋QUOTE＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案 (3，QUOTE)解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝QUOTE＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则QUOTE得QUOTE所以M的坐标为(3，QUOTE)．16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案 118.8解析 由题意得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即QUOTE×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O－EFGH＝QUOTE×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．三、解答题17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinQUOTE＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解 (1)由题设及正弦定理，得sinAsinQUOTE＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinQUOTE＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinQUOTE＝cosQUOTE，故cosQUOTE＝2sinQUOTEcosQUOTE.因为cosQUOTE≠0，故sinQUOT