绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.得分评卷人一.填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解集是.2．若集合、满足，则实数=.3．若复数满足（是虚数单位），则=.4．若函数的反函数为，则.5．若向量、满足，，且与的夹角为，则=.6．若直线经过抛物线的焦点，则实数.7．若是实系数方程的一个虚根，且，则.8．在平面直角坐标系中，从五个点：、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.9．若函数是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式.10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为.若要使该总体的方差最小，则的取值分别是.11．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为、、.如果是△围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是.得分评卷人二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12.设是椭圆上的点.若、是椭圆的两个焦点，则等于[答]()(A)4.(B)5.(C)8.(D)10.13.给定空间中的直线及平面.条件“直线与平面内两条相交直线都垂直”是“直线与平面垂直”的[答]()(A)充分非必要条件.(B)必要非充分条件.(C)充要条件.(D)既非充分又非必要条件.14.若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是[答]()(A)1.(B)2.(C).(D).15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），是该圆的四等分点.若点、点满足且，则称优于.如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧[答]()(A).(B).(C).(D).三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．得分评卷人16.（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，的中点.求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形.小区的两个出入口设置在点及点处.小区里有两条笔直的小路、，且拐弯处的转角为120°.已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）.[解]得分评卷人18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数，直线与函数、的图像分别交于两点.（1）当时，求的值；（2）求在时的最大值.[解]（1）（2）得分评卷人19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.[解]（1）（2）得分评卷人20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知点的坐标为.设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点.记.求的取值范围；（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点.记为经过原点与点的直线，为△截直线所得线段的长.试将表示为直线的斜率的函数.[解]（1）（2）（3）得分评卷人21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）.记.（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；（3）已知，且存在正整数，使得在，中有4项为100.求的值，并指出哪4项为100.[解](1)[证明]（2）[解]（3）2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1..2..3..4..5..6..7..8..9..10..11..二、（第12题至第15题）题号12131415代号DCBD三、（第16题至第21题）16．[解]过作，交于，连接.，是直线与平面所成的角.……4分由题意，得.,.……8分，.……10分故直线与平面所成角的大小是.……12分17.[解法一]设该扇形的半径为米.由题意，得=500（米），=300（米），.……4分在△中，，……6分即,……9分解得（米）.答：该扇形的半径的长约为445米.……13分[解法二]连接，作，交于.……2分由题意，得=500（米），=300（米），.……4分在△中，，（米），……6分.……9分在直角△中，（米），，（米）.答：该扇形的半径的长约为445米.……13分18.[解]（1）……2分.……5分（2）……8分.……11分，，……13分的最大值为.……15分19.[解]（1）当时，；当时，.……2分由条件可知，即，解得.……6分，.……8分（2）当时，，……10分即.，.……13分，故的取值范围是.……16分20.[解]（1）所求渐近线方程为.……3分（2）设的坐标为，则的坐标为.……4分.……7分,的取值范围是.……9分（3）若为双曲线上第一象限内的点，则直线的斜率.……11分由计算可得，当时，；当时，.……15分表示为直线的斜率的函数是……16分21.[解]（1）.……2分，.……4分[证明]（2）用数学归纳法证明：当时，.①当时，，等式成立.……6分②假设时等式成立，即，那么当时，……8分，等式也成立.根据①和②可以断定：当时，.……10分[解]（3）().当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.……13分是奇数，，，均为负数，这些项均不可能取到100.……15分，解得，，此时为100.……18分HYPERLINKhttp://www.mathschina.com1．不等式的解集是 ．【答案】【解析】由.2．若集合，满足，则实数a=．【答案】【解析】由.HYPERLINKhttp://www.mathschina.com3．若复数z满足(i是虚数单位)，则z=．【答案】【解析】由.4．若函数的反函数为，则．【答案】【解析】令则且HYPERLINKhttp://www.mathschina.com5．若向量，满足且与的夹角为，则 ．【答案】【解析】6．若直线经过抛物线的焦点，则实数 ．【答案】-1【解析】直线经过抛物线的焦点则HYPERLINKhttp://www.mathschina.com7．若是实系数方程的一个虚根，且，则．【答案】4【解析】设,则方程的另一个根为,且，由韦达定理直线所以8．在平面直角坐标系中，从五个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．【答案】【解析】由已知得所以五点中任选三点能构成三角形的概率为HYPERLINKhttp://www.mathschina.com9．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式．【答案】【解析】是偶函数，则其图象关于y轴对称,且值域为，10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别 ．【答案】【解析】中位数为10.5根据均值不等式知，只需时，总体方差最小.HYPERLINKhttp://www.mathschina.com11．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是．【答案】【解析】作图知取到最大值时，点在线段BC上,故当时,取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【解析】由椭圆的第一定义知HYPERLINKhttp://www.mathschina.com13．给定空间中的直线l及平面．条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】“直线l与平面内两条相交直线都垂直”“直线l与平面垂直”.14．若HYPERLINKhttp://www.mathschina.com数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（ ）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．Ｄ．【答案】B【解析】由.HYPERLINKhttp://www.mathschina.com15．如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ D ）Ａ． B．C．D．【答案】ABCDOxy【解析】由题意知，若P优于,则P在的左上方,当Q在上时,左上的点不在圆上,不存在其它优于Q的点,Q组成的集合是劣弧.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．16.【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.∵EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.……………4分由题意，得EF=∵…………………………..8分∵EF⊥DF，∴……………..10分故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分HYPERLINKhttp://www.mathschina.com17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．17.【解法一】设该扇形的半径为r米.由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分在中，……………6分即…………………….9分解得（米）.…………………………………………….13分 【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分由题意，得CD=500（米），AD=3