2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（1）由条件可得.将代入得，，而，所以，.将代入得，，所以，.从而，，. （2）是首项为，公比为的等比数列.由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）可得，所以. 18．解：（1）由已知可得，，.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由已知可得，，.又，所以.作，垂足为，则.由已知及（1）可得平面，所以平面，.因此，三棱锥的体积为. 19．解：（1） （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．20．解：（1）当与x轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或.所以直线的方程为或. （2）当与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以.当与x轴不垂直时，设的方程为，，，则.由得，可知.直线BM，BN的斜率之和为.① 将，及的表达式代入①式分子，可得.所以，可知BM，BN的倾斜角互补，所以.综上，. 21．解：（1）的定义域为，.由题设知，，所以. 从而，.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）当时，.设，则. 当时，；当时，.所以是的最小值点.故当时，.因此，当时，. 22．解：（1）由，得的直角坐标方程为.（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆.由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线.记轴右边的射线为，轴左边的射线为.由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点.当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或.经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点.当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或.经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点.综上，所求的方程为.23．解：（1）当时，，即故不等式的解集为. （2）当时成立等价于当时成立.若，则当时；若，的解集为，所以，故.综上，的取值范围为. 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合．【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，2}．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查． 2．（5分）设z=+2i，则|z|=（ ）A．0 B． C．1 D． 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，则|z|=1．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑．【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a=58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选：A．【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力． 4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，∵c=2，∴e===．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A．12π B．12π C．8π D．10π 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2=8，解得R=，则该圆柱的表面积为：=12π．故选：B．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查． 6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+ 【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，=﹣=﹣=﹣×（+）=﹣，故选：A．【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题． 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用． 9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A．2 B．2 C．3 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力． 10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ）A．8 B．6 C．8 D．8 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B=30°，可得BC1==2．可得BB1==2．所以该长方体的体积为：2×=8．故选：C．【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力． 11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（ ）A． B． C． D．1 【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=，从而|cosα|=，进而|tanα|=||=|a﹣b|=．由此能求出结果．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 12．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D