2003年江西高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x2．（5分）已知x∈（，0），cosx，则tan2x等于（ ）A． B． C． D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A． B． C．8 D．﹣84．（5分）等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，an＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C． D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B． C． D．π9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A． B． C． D．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2 B． C． D．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A． B． C． D．112．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3π B．4π C．3 D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 ．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ．”16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．2003年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x），∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为：y＝﹣2x．故选：C．2．（5分）已知x∈（，0），cosx，则tan2x等于（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵cosx，x∈（，0），∴sinx．∴tanx．∴tan2x．故选：D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A． B． C．8 D．﹣8【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2y，则其准线方程为y2，所以a．故选：B．4．（5分）等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，an＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5＝4，∴d4d＝4，即5d＝4，解得d．∴an（n﹣1），令an＝33，即33，解得n＝50．故选：C．5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2＝60°，∴tan∠OMF2，即cb，∴ab，∴e．故选：B．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C． D．【解答】解：令x5＝2，∴得x，∵f（x5）＝lgx，∴f（2）＝lglg2．故选：D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B． C． D．π【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sinx为奇函数不满足题意，排除A；当φ时，y＝sin（x+φ）＝sin（x）为非奇非偶函数，排除B；当φ时，y＝sin（x+φ）＝cosx，为偶函数，满足条件．当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，为奇函数，故选：C．9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A． B． C． D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：，∵a＞0，∴a．故选：C．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2 B． C． D．【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，所以圆柱的全面积为：s＝2．故选：B．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A． B． C． D．1【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ．故选：C．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3π B．4π C．3 D．6π【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R，∴球的表面积为3π，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 （2，4] ．【解答】解：∵x0，∴x＞0，∵不等式，两边平方得，4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，故答案为（2，4]．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1＝C99﹣r•x9﹣r•（）r＝（）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r＝3，可得r＝3，当r＝3时，有T4x3，故答案．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2 ．”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FMD1D．又ECCC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1＝2，AB＝1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【解答】解：设z＝（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（1）＝|z|∴r2﹣r+1＝r，整理得r2+2r﹣1＝0．解得r1，r1（舍去）．即|z|1．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，∴a2＝3+1＝4，∴a3＝32+4＝13；（Ⅱ）证明：由已知an﹣an﹣1＝3n﹣1，n≥2故an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．n≥2当n＝1时，也满足上式．所以．20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x所以函数的最小正周期为π，最大值为；（2）由（1）列表得：xy11111故函数y＝f（x）在区间上的图象是：21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则