2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）log2的值为（ ）A．﹣ B． C．﹣ D． 2．（5分）（2009•湖南）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）A．（4，0） B．（2，0） C．（1，0） D． 3．（5分）（2009•湖南）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（ ）A．13 B．35 C．49 D．63 4．（5分）（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）A．++= B．﹣+= C．+﹣= D．﹣﹣= 5．（5分）（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）A．14 B．16 C．20 D．48 6．（5分）（2009•湖南）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）（2009•湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）A． B． C． D． 8．（5分）（2009•湖南）设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为（ ）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞） 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ． 10．（5分）（2009•湖南）若x＞0，则x+的最小值为 ． 11．（5分）（2009•湖南）在的展开式中，x的系数为 ． 12．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 ． 13．（5分）（2009•湖南）过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．14．（5分）（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 ，AC的取值范围为 ． 15．（5分）（2009•湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x= ，y= ． 三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值． 17．（12分）（2009•湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望． 18．（12分）（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．19．（13分）（2009•湖南）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域． 20．（13分）（2009•湖南）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围． 21．（13分）（2009•湖南）对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|un+1﹣un|+|un﹣un1|+…+|u2﹣u1|≤M则称数列un为B﹣数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B﹣数列？请说明理由；（2）设sn是数列{xn}的前n项和，给出下列两组判断：A组：①数列{xn}是B﹣数列．②数列{xn}不是B﹣数列．B组③数列{sn}是B﹣数列．④数列{sn}不是B﹣数列请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列{an}是B﹣数列，证明：数列{an2}也是B﹣数列．2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）log2的值为（ ）A．﹣ B． C．﹣ D．【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想．【分析】先将转化成，然后根据对数的运算性质进行求解即可．【解答】解：log2=log22=．故选：D【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是对数运算中常用的公式，属于基础题． 2．（5分）（2009•湖南）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）A．（4，0） B．（2，0） C．（1，0） D．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出p的值，进而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵2p=4⇒p=2，∴，∴抛物线y2=4x的焦点是（1，0），故选C；【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题． 3．（5分）（2009•湖南）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（ ）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题． 4．（5分）（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）A．++= B．﹣+= C．+﹣= D．﹣﹣=【考点】向量加减混合运算及其几何意义．菁优网版权所有【分析】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项．【解答】解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．故选项为A．【点评】考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则． 5．（5分）（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）A．14 B．16 C．20 D．48【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C42种；不含有甲的选法有C43种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：①含有甲的选法有C21C42种，②不含有甲的选法有C43种，共有C21C42+C43=16（种），故选B．【点评】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业． 6．（5分）（2009•湖南）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面的基本性质及推论．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．【点评】本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力． 7．（5分）（2009•湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】数形结合法．【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，B存在f′（x′）＞f′（x″），C对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选A．【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形． 8．（5分）（2009•湖南）设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为（ ）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题中所给的函数定义求出函数函数fK（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案．【解答】解：由f（x）≤得：，即，解得：x≤﹣1或x≥1．∴函数fK（x）=由此可见，函数fK（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，故选C．【点评】本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题． 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题． 10．（5分）（2009•湖南）若x＞0，则x+的最小值为 ． ．【考点】基本不等式．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由于x和都是正数，x与的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意检验等号成立条件．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，由基本不等式得：x+≥2，当且仅当x=，即x=时取等号，∴当x=时，x+有最小值为2，故答案为2．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备． 11．（5分）（2009•湖南）在的展开式中，x的系数为 6 ．【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据题意，的展开式为Tr+1=C4r（）r；分析可得，r=2