2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A. B. C. D.2．已知复数Z满足，则Z=A. B. C. D.3．若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则A.8 B.7 C.6 D.54．若实数k满足，则曲线与曲线的A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是小学初中30高中10年级50O近视率/%小学生3500名初中生4500名高中生2000名A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，107．若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是A.B.C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定8．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集为。10．曲线在点处的切线方程为。11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为。12．在中，角所对应的边分别为，已知，则。13．若等比数列的各项均为正数，且，则。（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_________.CEABFD15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形中，点在上且，与交于点，则三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，且，（1）求的值；（2）若，，求。17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。ABCDEFP18．（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.（1）证明：（2）求二面角的余弦值。19．（本小题满分14分）设数列的前和为,满足，且，(1)求的值;(2)求数列的通项公式。20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。21．（本小题满分14分）设函数，其中，（1）求函数的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数在D上的单调性；（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知集合则（B）A． B. C. D.2.已知复数Z满足则Z=（A）A． B. C. D.3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n，则（C）A．8 B.7 C.6 D.54.若实数k满足则曲线与曲线的（D）A．离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量则下列向量中与成夹角的是（B）A．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（A）A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,107、若空间中四条两两不同的直线满足，则下列结论一定正确的是（D）A．B．C．既不垂直也不平行D．的位置关系不确定8.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（D）A．60B90C.120D.130８.解：A中元素为有序数组，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为，所以共有个不同数组；二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集为。10．曲线在点处的切线方程为。11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为。11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，12．在中，角所对应的边分别为，已知，则2。13．若等比数列的各项均为正数，且，则50。（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为(1,1).15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝9.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数，且，（1）求的值；（2）若，，求。16.解：（1），，；（2），，，，又，，．17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。17.解：（1），；（2）样本频率分布直方图为日加工零件数频率组距0.0160.0240.040.0560.0642530354045500（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则，，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值。18.（１）平面，，又，，平面，，又，平面，即；（２）设，则中，，又，ABCDEFPxyz，，由（１）知，，，又，，，同理，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，，由（１）知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，，即所求．19.（14分）设数列的前和为,满足，且。(1)求的值;(2)求数列的通项公式;19.解：，，又，，，又，，，综上知，，；（２）由（１）猜想，下面用数学归纳法证明．①当时，结论显然成立；②假设当（）时，，则，又，，解得，，即当时，结论成立；由①②知，．20.（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。20.解：（１）可知，又，，，椭圆C的标准方程为；（２）设两切线为，①当轴或轴时，对应轴或轴，可知；②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，得，因为直线与椭圆相切，所以，得，，所以是方程的一个根，同理是方程的另一个根，，得，其中，所以点P的轨迹方程为（），因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．21.（本题14分）设函数，其中，（1）求函数的定义域D；（用区间表示）（2）讨论在区间D上的单调性；（3）若，求D上满足条件的的集合。21.解：（１）可知，，或，或，或，或或，所以函数的定义域D为；（２），由得，即，或，结合定义域知或，所以函数的单调递增区间为，，同理递减区间为，；（３）由得，，，，或或或，，，，，，结合函数的单调性知的解集为．