2013年广东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ） A{0}B{0，2}C{﹣2，0}D{﹣2，0，2}．．．． 2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ） A4B3C2D1．．．． 3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） A（2，4）B（2，﹣4）C（4，﹣2）D（4，2）．．．． 4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（ ） AB2CD3．．．． 5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） A4BCD6．．．． 6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若α⊥β，B若α∥β，．m⊂α，n⊂β，．m⊂α，n⊂β，则m⊥n则m∥n C若m⊥n，D若m⊥α，．m⊂α，n⊂β，．m∥n，n∥β，则则α⊥βα⊥β 7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（ ） ABCD．．．． 8．（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ） A（y，z，w）B（y，z，w）C（y，z，w）D（y，z，w）．∈S，（x，y，．∈S，（x，y，．∉S，（x，y，．∉S，（x，y，w）∉Sw）∈Sw）∈Sw）∉S 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为 _________ ． 10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= _________ ． 11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 _________ ． 12．（5分）（2013•广东）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= _________ ． 13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 _________ 条不同的直线． 14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 _________ ． 15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= _________ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求． 17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值． *19．（14分）（2013•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，n∈N．（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有． 20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值． 21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M． 2013年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ） A{0}B{0，2}C{﹣2，0}D{﹣2，0，2}．．．．考点：并集及其运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．解答：解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．点评：本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集． 2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ） A4B3C2D1．．．．考点：函数奇偶性的判断．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．解答：解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握． 3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） A（2，4）B（2，﹣4）C（4，﹣2）D（4，2）．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（ ） AB2CD3．．．．考点：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．故选A．点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键． 5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） A4BCD6．．．．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．解答：解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力． 6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若α⊥β，B若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n．m⊂α，n⊂β，．则m⊥n C若m⊥n，D若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β．m⊂α，n⊂β，．则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．解答：解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题． 7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（ ） ABCD．．．．考点：双曲线的标准方程．菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．解答：解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．点评：本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 8．（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ） A（y，z，w）B（y，z，w）C（y，z，w）D（y，z，w）．∈S，（x，y，．∈S，（x，y，．∉S，（x，y，．∉S，（x，y，w）∉Sw）∈Sw）∈Sw）∉S考点：进行简单的合情推理．菁优网版权所有专题：证明题；压轴题．分析：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除错误选项，即得答案．解答：解：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（2，4，3）∈S，（x，y，w）=（1，2，3）∈S，故A、C、D均错误；只有B成立，故选B点评：本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为 （﹣2，1） ．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）