2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学3i1.设z，则z（）12iA.2B.3C.2D.1答案：C解析：3i(3i)(12i)17i因为z12i(12i)(12i)517所以z()2()2255，，，，，，2.已知集合U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2345}，B{2367}，则BCUA（）A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}答案：C解析：，，，，，，，，U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2345}，则CUA{167}，又B{2367}，则，BCUA{67}，故选C.0.20.33.已知alog20.2，b2，c0.2，则（）A.abcB.acbC.cabD.bca答案：B解答：0.2由对数函数的图像可知：alog20.20；再有指数函数的图像可知：b21，0c0.20.31，于是可得到：acb.514.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（2510.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头251顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，2且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案：B解析：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足51底处为F，BDt，，2ABAD根据题意可知,故ABt；又ADABBD(1)t，，故BDDF1DFt；(1)251所以身高hADDFt，将0.618代入可得h4.24t.2根据腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm可得ABAC，DFEF；151即t26，t105，将0.618代入可得40t422所以169.6h178.08，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5151（0.618称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm；将人22体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至肚51脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至2肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm，与答案175cm更为接近，故选B.sinxx5.函数f(x)在[,]的图像大致为（）cosxx2A.B.C.D.答案：D解答：sinxxsinxx∵f(x)2f(x)，cosxxcosxx2∴f(x)为奇函数，排除A.sin2242又f()220，排除C，2cos22sinf()0，排除B，故选D.cos2126.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）.A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生答案：C解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为10n6(0n99,nN)，可得出616号学生被抽到.7.tan255（）A.23B.23C.23D.23答案：D解析：tan45tan30因为tan255tan(18075)tan75tan(4530)1tan45tan30化简可得tan255238.已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为（）A.6B.32C.35D.6答案：B解答：2|a|2|b|，且(ab)b，(ab)b0，有ab|b|0，设a与b的夹角为2222，则有|a||b|cos|b|0，即2|b|cos|b|0，|b|(2cos1)0，1|b|0，cos，，故a与b的夹角为，选B.233119.右图是求2+的程序框图，图中空白框中应填入（）12+21A.A2A1B.A2A1C.A12A1D.A12A答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论1A=1选项A代入运算可得2+，满足条件，12+21A=2+选项B代入运算可得1,不符合条件，2+21选项C代入运算可得A,不符合条件，21选项D代入运算可得A1+,不符合条件.4x2y210.双曲线C：1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为a2b2（）A.2sin40B.2cos401C.sin501D.cos50答案：D解答：bbsin50根据题意可知tan130，所以tan50，aacos50b2sin250cos250sin25011离心率e11.a2cos250cos250cos250cos5011.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinAbsinB4csinC，1bcosA，则（）4cA.6B.5C.4D.3答案：A解答：由正弦定理可得到：asinAbsinB4csinCa2b24c2，即a24c2b2，b2c2a21b又由余弦定理可得到：cosA，于是可得到62bc4c12.已知椭圆C的焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若AF22F2B，ABBF1，则C的方程为（）x2A.y212x2y2B.132x2y2C.143x2y2D.154答案：B解答：由AF22F2B，ABBF1，设F2Bx，则AF22x，BF13x，根据椭圆的定义F2BBF1AF2AF12a，所以AF12x，因此点A即为椭圆的下顶点，因为3b91AF2FB，c1所以点B坐标为(,)，将坐标代入椭圆方程得1，解得22224a24a23,b22，故答案选B.13.曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案：y3x解答：∵y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，∴结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率k3，∴切线方程为y3x.314.记S为等比数列a的前n项和，若a1，S，则S.nn1344答案：58解析：3a1，Saaa131234设等比数列公比为q3∴aaqaq211141∴q25所以S48315．函数f(x)sin(2x)3cosx的最小值为___________．2答案：4解答：3f(x)sin(2x)3cosxcos2x3cosx2cos2x3cosx1，2因为cosx[1,1]，知当cosx1时f(x)取最小值，3则f(x)sin(2x)3cosx的最小值为4．216.已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC,BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为.答案：2解答：如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O，则PO的长度即为所求，再做PECB,PFCA，由线面的垂直判定及性质定理可得出OECB,OFCA，在RtPCF中，由PC2,PF3，可得出CF1，同理在RtPCE中可得出CE1，结合ACB90，OECB,OFCA可得出OEOF1，OC2，POPC2OC2217.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？n(adbc)2附：2(ab)(cd)(ac)(bd)P(2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：404(1)男顾客的的满意概率为P505303女顾客的的满意概率为P505(2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.解答：404（1）男顾客的的满意概率为P505303女顾客的的满意概率为P.505100(40201030)2(2)24.762(4010)(3020)(4030)(1020)4.7623.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9a5；（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围.答案：（1）an2n10（2）n1n10,nN解答：9(aa)（1）由Sa结合S199a可得a0，联立a4得d2，所以9592553ana3(n3)d2n10n(n9)d（2）由Sa可得a4d，故a(n5)d，S.951nn22由a10知d0，故Snan等价于n11n100，解得1n10，所以n的取值范围是n1n10,nN19.如图直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14,AB2，BAD60，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.（1）证明：MN//平面C1DE（2）求点C到平面C1DE的距离.答案：见解析解答：（1）连结A1C1,B1D1相交于点G，再过点M作MH//C1E交B1C1于点H，再连结GH，NG.E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.于是可得到NG//C1D，GH//DE，于是得到平面NGHM//平面C1DE，由平面，于是得到平面CDEMNNGHMMN//1（2）E为BC中点，ABCD为菱形且BAD60DEBC，又ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，DECC1DEC1E，又AB2,AA14，DE3,C1E17，设点C到平面C1DE的距离为h由VV得CC1DEC1DCE1111317h13432324解得h17174所以点C到平面CDE的距离为1711720.已知函数f(x)2sinxxcosxx，f(x)是f(x)的导数.（1）证明：f(x)在区间(0,)存在唯一零点；（2）若x[0,]时，f(x)ax，求a的取值范围.答案：略解答：（1）由题意得f(x)2cosx[cosxx(sinx)]1cosxxsinx1令g(x)cosxxsinx1，∴g(x)xcosx当x(0,]时，g(x)0，g(x)单调递增，2当x(,)时，g(x)0，g(x)单调递减，2∴g(x)的最大值为g()1，又g()2，g(0)022∴g()g()0，即f()f()0，22∴f(x)在区间(0,)存在唯一零点.（2）令F(x)f(x)ax2sinxxcosxxax，∴F(x)cosxxsinx1a，由（1）知f(x)在(0,)上先增后减，存在m(,)，使得f(m)0，且f(0)0，2f()=10，f()2，22∴F(x)在(0,)上先增