2011年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•浙江）若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（ ）A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆CRP．【解答】解：∵P={x|x＜1}，∴CRP={x|x≥1}，∵Q={x|x＞1}，∴Q⊆CRP，故选D．【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系． 2．（5分）（2011•浙江）若复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（ ）A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，把（1+z）•z化简到最简形式．【解答】解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（2+i）（1+i）=1+3i故选A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位的幂运算性质． 3．（5分）（2011•浙江）若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（ ）A．13 B．15 C．20 D．28【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知，当x=3，y=1时3x+4y取最小值13故选A【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 4．（5分）（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交【考点】直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选A【点评】本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键． 5．（5分）（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（ ）A．﹣ B． C．﹣1 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．【解答】解：∵acosA=bsinB由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1故选D【点评】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系． 6．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．菁优网版权所有【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键． 7．（5分）（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A． B． C． D．【考点】空间几何体的直观图；简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】立体几何．【分析】A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．【解答】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选B【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力． 8．（5分）（2011•浙江）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C53=10种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C33=1种，则没有白球的概率为；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是．故选D．【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率． 9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（ ）A．a2= B．a2=3 C．b2= D．b2=2【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2﹣b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．【解答】解：由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a∴C1的半焦距c=，于是得a2﹣b2=5①设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以③由②③得a2=11b2④由①④得a2=5.5，b2=0.5故选C【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎． 10．（5分）（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（ ）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2011•浙江）设函数，若f（a）=2，则实数a= ﹣1 ．【考点】函数的值．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】将x=a代入到f（x），得到=2．再解方程即可得．【解答】解：由题意，f（a）==2，解得，a=﹣1．故a=﹣1．【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函数，函数值的意义，从而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其他性质． 12．（4分）（2011•浙江）若直线与直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m= 1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：1【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1． 13．（4分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 600 ．【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】首先计算成绩小于60的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60的学生的频率，再乘以3000即可．【解答】解：由频率分布直方图成绩小于60的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）=0.2，所以成绩小于60分的学生数是3000×0，2=600故答案为：600【点评】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考查识图能力． 14．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 5 ．【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3a=43b=34第二圈k=4a=44b=44第三圈k=5a=45b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．【点评】对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模． 15．（4分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1