绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学参考答案与解析本参考答案与解析共7页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合퐴={푥|−5<푥3<5}，퐵={−3,−1,0,2,3}，则퐴퐵=A.{−1,0}B.{2,3}C.{−3,−1,0}D.{−1,0,2}【答案】A.3111【解析】−5<푥<5⇒−53<푥<53，而1<53<2，因此퐴퐵={−1,0}.故答案为A.푧2.若=1+i，则푧=푧−1A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i【答案】C.11【解析】两边同时减1得：=i,进而푧=1+=1−i.푧−1i故答案为C.3.已知向量풂=(0,1)，풃=(2,푥).若풃⊥(풃−4풂)，则푥=A.−2B.−1C.1D.2【答案】D.【解析】即풃⋅(풃−4풂)=0.代入得4+푥(푥−4)=0,即푥=2.故答案为D.4.已知cos(훼+훽)=푚，tan훼tan훽=2，则cos(훼−훽)=数学参考答案与解析第1页（共7页）푚푚A.−3푚B.−C.D.3푚33【答案】A.11【解析】通分sin훼sin훽=2cos훼cos훽.积化和差(cos(훼−훽)−cos(훼+훽))=2⋅(cos(훼−22훽)+cos(훼+훽)).即cos(훼−훽)=−3cos(훼+훽)=−3푚.故选A.√5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且他们的高均为3，则圆锥的体积为√√√√A.23휋B.33휋C.63휋D.93휋【答案】B.√√【解析】设二者底面半径为푟，由侧面积相等有휋푟푟2+3=2휋푟⋅3，解得푟=3.故√1√3√푉=⋅휋푟2⋅3=휋×9=33휋.33故答案为B.{⎧−푥2−2푎푥−푎,푥<06.已知函数为푓(푥)=在R上单调递增，则푎的取值范围是⎨푥⎩{e+ln(푥+1),푥⩾0A.(−∞,0]B.[−1,0]C.[−1,1]D.[0,+∞)【答案】B.1【解析】푥⩾0时，푓′(푥)=e푥+>0，故푓(푥)在[0,+∞)上单调递增.而푦=1+푥−푥2−2푧푥−푎的对称轴为直线푥=−푎，故由푓(푥)在(−∞,0)上单调递增可知−푎⩾0⇒푎⩽0.在푥=0时应有−푥2−2푎푥−푎⩽e푥+ln(푥+1)，解得푎⩾−1，故−1⩽푎⩽0.故答案为B.휋7.当푥∈[0,2휋]时，曲线푦=sin푥与푦=2sin(3푥−)的交点个数为6A.3B.4C.6D.8【答案】C.【解析】五点作图法画图易得应有6个交点.故答案为C.8.已知函数푓(푥)的定义域为R，푓(푥)>푓(푥−1)+푓(푥−2)，且当푥<3时푓(푥)=푥，则下列结论中一定正确的是A.푓(10)>100B.푓(20)>1000C.푓(10)<1000D.푓(20)<10000【答案】B.【解析】푓(1)=1,푓(2)=2⇒푓(3)>3⇒푓(4)>5⇒푓(5)>8⇒푓(6)>13⇒⋯⇒푓(11)>143⇒푓(12)>232⇒푓(13)>300⇒푓(14)>500⇒푓(15)>800⇒푓(16)>1000⇒⋯⇒푓(20)>1000故答案为B.数学参考答案与解析第2页（共7页）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值为̄푥=2.1，样本方差푠2=0.01.已知该种植区以往的亩收入푥服从正态分布푀(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入푌服从正态分布푁(̄푥,푠2)，则（若随机变量푍服从正态分布푁(휇,휎2)，则푃(푍<휇+휎)≈0.8413）A.푃(푋>2)>0.2B.푃(푋>2)<0.5C.푃(푌>2)>0.5D.푃(푌>2)<0.8【答案】BC.【解析】由所给材料知两正态分布均有휎=0.1及正态分布的对称性得：푃(푋>2)<푃(푋>1.9)=1−푃(푋<1.9)=1−0.8413<0.2,A错误；푃(푋>2)<푃(푋>1.8)=0.5,B正确；푃(푌>2)>푃(푌>2.1)=0.5,C正确；푃(푌>2)=푃(푌<2.2)=0.8413>0.8,D错误.故答案为BC.10.设函数푓(푥)=(푥−1)2(푥−4)，则A.푥=3是푓(푥)的极小值点B.当0<푥<1时，푓(푥)<푓(푥2)C.当1<푥<2时，−4<푓(2푥−1)<0D.当−1<푥<0时，푓(2−푥)>푓(푥)【答案】ACD.【解析】计算知푓′(푥)=3(푥−1)(푥−3).故푥∈(1,3)时푓(푥)单调减,其余部分单调增.由此知푥=3为푓(푥)极小值点，A正确；由上知푥∈(0,1)时푓(푥)单调增,又此时푥>푥2,故푓(푥)>푓(푥2),B错误；此时2푥−1∈(1,3),故푓(2푥−1)∈(푓(3),푓(1))=(−4,0),C正确；由푓(2−푥)=(푥−1)2(−푥−2),故푓(2−푥)−푓(푥)=2(1−푥)3>0,D正确.故答案为ACD.11.造型∝可以看作图中的曲线퐶的一部分.已知퐶过坐标原点푂，且퐶上的点满足横坐标大于−2；到点퐹(2,0)的距离与到定直线푥=푎(푎<0)的距离之积为4，则A.푎=−2√B.点(22,0)在퐶上C.퐶在第一象限的点的纵坐标的最大值为14D.当点(푥0,푦0)在퐶上时，푦0⩽푥0+2【答案】ABD.【解析】由原点푂在曲线퐶上且|푂퐹|=2知푂到直线푥=푎距离为2,由푎<0知푎=−2,A正确；√由푥>−2知퐶上点满足(푥+2)√(푥−2)2+푦2=4,代(22,0)知B正确；16解出푦2=−(푥−2)2,将左边设为푓(푥),则푓′(2)=−0.5<0.又有푓(2)=1,故存(푥+2)2数学参考答案与解析第3页（共7页）푥0∈(0,1)使푓(푥0)>1.此时푦>1且在第一象限,C错误；16164又22故正确푦=2−(푥−2)<2,푦0<,D.(푥+2)(푥+2)(푥0+2)故答案为ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.푥2푦212.设双曲线퐶∶−=1(푎>0,푏>0)的左右焦点分别为퐹,퐹，过퐹做平行于푦轴的푎2푏2122直线交퐶于퐴,퐵两点，若|퐹1퐴|=13,|퐴퐵|=10，则퐶的离心率为▴..3【答案】.2|퐴퐵|【解析】根据对称性|퐹퐴|==5，则2푎=|퐹퐴|−|퐹퐴|=8，得到푎=4.另外根据2212푐3勾股定理2푐=|퐹퐹|=12，得到푐=6，所以离心率푒==.12푎213.若曲线푦=e푥+푥在点(0,1)处的切线也是曲线푦=ln(푥+1)+푎的切线，则푎=▴..【答案】ln2.1【解析】设曲线分别为푦,푦，那么푦′=e푥+1，得到切线方程푦−1=2푥，根据푦′=1212푥+11得到切点横坐标为−，代入푦得到푎=ln2.2214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为▴..1【答案】.2【解析】.由对称性，不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8),为了简便,设甲依次出(푎,푏,푐,푑),{푎,푏,푐,푑}∈{1,3,5,7}.首先注意到8是最大的,故甲不可能得四分.若甲得三分,则从푐到푎均要求得分,比较得必有푐=7,푏=5,푎=3,푑=1共一种情况；若甲得两分,则讨论在何处得分：若在푏,푐处,则同样푐=7,푏=5,进而푎=1,푑=3,共一种；若在푎,푐处，则必有푐=7,푎≠1,푏≠5,在푏=1时有全部两种,在푑=1时仅一种,共三种；若在푎,푏处,则푏∈{5,7},푎≠1,푐≠7.当푎=5时,由上述限制,푐=1时有两种,푑=1时仅一种；当푎=7时,푎,푐,푑全排列六种中仅푎=1的两种不行,故有四种,此情形共八种.故共有1+3+8=12种,121又总数为4!=24,故所求为1−=.242四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）√√记△퐴퐵퐶的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐，已知sin퐶=2cos퐵，푎2+푏2−푐2=2푎푏.（1）求퐵；√（2）若△퐴퐵퐶的面积为3+3，求푐.数学参考答案与解析第4页（共7页）【解析】√√2（1）根据余弦定理푎2+푏2−푐2=2푎푏cos퐶=2푎푏，那么cos퐶=，又因为퐶∈(0,휋)，2휋1휋得到퐶=，此时cos퐵=，得到퐵=.423√푐sin퐵6（2）根据正弦定理푏==푐，并且sin퐴=sin(퐵+퐶)=sin퐵cos퐶+cos퐵sin퐶=sin퐶2√√6+21√√，那么푆=푏푐sin퐴=3+3，解得푐=22.4216.（15分）3푥2푦2已知퐴(0,3)和푃(3,)为椭圆퐶∶+=1(푎>푏>0)上两点.2푎2푏2（1）求퐶的离心率；（2）若过푃的直线푙交퐶于另一点퐵，且△퐴퐵푃的面积为9，求푙的方程.【解析】11（1）直接代入后解方程，得到푎2=12,푏2=9,푐2=3，所以푒2=，离心率푒=.4233（2）设퐵(푥,푦)，则퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(푥−3,푦−),퐴푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,−).得到9=푆000022133=∣−(푥−3)−3(푦−)∣，或者푥+2푦=−6，与椭圆方程联立，得到퐵(−3,−15),퐵(0,−3)，22002001213对应的直线方程푦=푥或者푦=푥−3.2217.（15分）√如图，四棱锥푃−퐴푁퐶퐷中，푃퐴⊥底面퐴퐵퐶퐷，푃퐴=퐴퐶=2，퐵퐶=1，퐴퐵=3.（1）若퐴퐷⊥퐴퐵，证明：퐴퐷平面푃퐵퐶；√42（2）若퐴퐷⊥퐷퐶，且二面角퐴−퐶푃−퐷的正弦值为，求퐴퐷.7【解析】（1）由푃퐴⊥面퐴퐵퐶퐷知푃퐴⊥퐴퐷,又퐴퐷⊥푃퐵,故퐴퐷⊥面푃퐴퐵.故퐴퐷⊥퐴퐵,又由勾股定理知퐴퐵⊥퐵퐶,故퐴퐷//퐵퐶,进而퐴퐷//面푃퐵퐶.√√（2）由푃퐴⊥面퐴퐵퐶퐷.푃퐴⊥퐴퐶,푃퐶=22,设퐴퐷=푡,则푃퐷=4+푡2,√1√1√퐶퐷=4−푡2,由勾股定理知푃퐷⊥퐶퐷.则푆=16−푡4,푆=푡4−푡2,△푃퐶퐷2△퐴퐶퐷2数学参考答案与解析第5页（共7页）2푡设퐴到푃퐶퐷距离为ℎ.由等体积,푆⋅ℎ=푆⋅푃퐴.代入解出ℎ=√.考虑퐴△푃퐶퐷△퐴퐶퐷4+푡2√221√向퐶푃作垂线퐴푀,二面角设为휃则ℎ=퐴푀sin휃=.由此解出푡=3.718.（17分）푥已知函数푓(푥)=ln+푎푥+푏(푥−1)3.2−푥（1）若푏=0，且푓′(푥)⩾0，求푎的最小值；（2）证明：曲线푦=푓(푥)是中心对称图形；（3）若푓(푥)>−2当且仅当1<푥<2，求푏的取值范围.【解析】函数定义域(0,2).112(1)当푏=0时,푓′(푥)=++푎=+푎⩾0恒成立.令푥=1得푎⩾−2.푥2−푥푥(2−푥)2(푥−1)2当푎=−2时,푓′(푥)=⩾0,从而푎的最小值为−2.푥(2−푥)푥2−푥(2)푓(푥)+푓(2−푥)=ln+푎푥+푏(푥−1)3+ln+푎(2−푥)+푏(1−푥)3=2푎=2푓(1),2−푥푥且定义域也关于1对称,因此푦=푓(푥)是关于(1,푎)的中心对称图形.|푏|+12e(3)先证明푎=−2.由题意,푎=푓(1)⩽−2.假设푎<−2,由푓()>|푏|+11+e|푏|+12e|푏|+1−|푏|=1