昆明一中2024届高三第9次联考数学参考答案命题、审题组教师杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘一、选择题题号12345678答案ACDBCCBC1．解析：因为，所以，选A．2．解析：因为，所以，所以，选C．3．解析：由题意可知，点的坐标为，设点，，的坐标分别为，，，又为△的重心，则，即，所以由抛物线的定义可知，选D．4．解析：因为，所以点到圆心的距离恒为，所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即，选B．5．解析：由题意可知，，即，所以A正确；乙组样本数据方差为，所以B正确；设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为，则乙组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确，选C.6．解析：若存在，使得，等价于函数在不是单调函数，，若函数为单调递增函数，则恒成立，即，在恒成立，则；同理，若函数为单调递减函数，则恒成立，得，即若函数在不单调，则，选C．7．解析：若函数有“和谐区间”，所以在上单调递增，且在定义域内有两个不等的实数根，，即，又在区间单调递减，在区间单调递增，且，所以，又因为与直线在有两个交点，，所以，得，所以正整数的最小值为，，即，，此时，实数的取值范围是，选B．8．解析：设第个正三角形的内切圆半径为，第个正三角形的边长为，可知，又半径为的圆内接三角形的边长满足，可得，即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，设前个内切圆的面积和为，则，选C．二、多选题题号91011答案BCDBDABD9．解析：如图，展开图翻折成的正方体，因为，，因此，所以A错误；同理，，所以，B正确；或其补角是与所成的角，又△是等边三角形，所以，所以与所成的角是，C正确．又平面，且与不平行，故与是异面直线，D正确.选BCD．10．解析：因为直线过定点，且点在圆内，所以直线与圆必相交，A错误；若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，所以B正确；当时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为d，所以直线被截得的弦长为，C错误；因为圆心到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，D正确，选BD．11．解析：对于A，因为点关于直线的对称点为，所以将军在河边饮马的地点的坐标为，A错误；对于B，因为点关于直线的对称点为，将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，B错误；对于C和D，因为点关于直线，的对称点分别为，，所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，C正确；将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，D错误．选ABD．三、填空题12．解析：由题意，，，且，则，，则．13．解析：由题意知双曲线的渐近线方程为，因为分别为直线与双曲线的两条渐近线的交点，所以不妨设，所以，因为（当且仅当时等号成立），所以，所以的焦距的最小值为．14．解析：人乘坐的所有情况有种，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有种，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为种.四、解答题15．解：（1）如图，取中点O，连接，，因为△是等边三角形，所以，又，所以，所以平面，所以，又，所以.………5分（2）在平面中，作，垂足为D，由（1）知平面，所以，所以平面，如图建立空间直角坐标系，因为三棱柱的体积为3，所以，故，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，所以，设平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，故，化简得：，即可得，此时，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为，可得，此时，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.………13分16．解：（1）由得：，又因为，所以，所以，又因为，所以.………5分（2）在△中，由得：，由正弦定理，得:，解得：，由，得，所以，因为在△中，，所以，所以.………10分17．解：（1）依题意随机变量服从超几何分布，且.所以.………5分（2）当时，；当时，.令，则.由解得.所以时，；当时，.从而当或时，最大，所以的估计值为或.………15分18．解：(1)由题意知，，，所以，，所以，所以，所以.………5分（2）设的坐标为，原点坐标为，因为，，所以，因为，，所以为线段的中点，所以在△中，是中位线，所以点的轨迹的方程………10分（3）假设存在点，使得△的面积为，则，所以，因为，所以，所以又因为，，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以………17分19．解：（1）当时，，的定义域为，，当时，，当时，，故在内单调递增，在单调递减，即的单调增区间为，单调减区间为；……………7分（2）证明：因为曲线与直线有且仅有两个交点，所以方程有且仅有两个不同的实数根，即方程，即有且仅有两个不同的实数根，构造，则，当时，，当时，，故在内单调递增，在单调递减，所以，又，当时，则，因为，故有且仅有两个不同的实数根的充要条件为，即，故实数的取值范围为.………17分