数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ACBDCABC【解析】1．由，所以，故选A．2．由，所以，对应的坐标为，故选C．3．A．，在的切线斜率为0，不符合；B．在的切线斜率为1，所以切线为，成立；C．D．两个函数均不经过，不符合，故选B．4．由定义，，当，合题意；当，化简得，由于横坐标，角在一、四象限，所以，故选D．5．设出每一秒钟的路程为数列，由题意可知为等差数列，则数列首项，公差，由求和公式有，解得，故选C．6．令，则，将假设代入，则，由基本不等式：所以，可得，当且仅当时取等号，面积最大，故选A．7．由题意可知：，且，即当时，，由于，所以满足的的最小值为51，故选B．8．由抛物线方程，设圆心，半径为，，在中，由正弦定理得，，．又圆与直线相切，圆心到直线的距离．当时，则圆心到直线的距离，解得；当时，则圆心到直线的距离，解得或（舍），综上或，故选C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案BDABDABD【解析】9．设7位裁判对每位选手给分分别为，A．若7位裁判分别给分为1~7分，则原来平均值和去掉后的平均值都是，不变，所以A错误；B．，所以B正确；C．中位数不变，都是，故C错误；D．由题意，极差变小，数据更稳定，所以方差变小，所以D正确，故选BD．图110．令，画出，，，如图1，由图象可知：当在①位置时，；当在②位置时，；当在③位置时，；故不可能成立，故选ABD．11．由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为．此正八面体的外接球的球心为，半径为，所以外接球的体积为，A正确；由于到平面的距离等于到平面的距离，在中，过作的垂线，垂足为，则平面．由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，其半径，所以所得截面的面积为，B正确；甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，甲构成正三角形的概率为，故C错误；乙构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，概率为；甲能构成正三角形的概率为，所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D选项正确，故选ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案【解析】12．因为，且，即，有，所以．13．设，因为当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，有最大值．又因为是减函数，所以只需考虑时，的大小情况即可．当时，比较与的大小．因为，所以令，得，解得．因此，当时，取最大值．14．在中，由正弦定理得：，由于，所以．则有：．，由，可得．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：当两式相减得：，所以.当且，可得，也满足，由，则为等比数列，，所以．…………………………………………………………………………（7分）（2）证明：，当时，成立；当时，所以成立．………………………………………………………………………………………（13分）16．（本小题满分15分）解：（1）如图2，设，由正四棱锥的性质，，，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．由于各边长均为1，所以，可得：，，，设为平面的一个法向量，则有：令，图2则．设与平面所成角为，所以；………………………………………………………………………………………（7分）同理，可得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，所以，则，所以与平面所成角的正弦值为；二面角的平面角的正弦值为．……………………………………………………………………………………（10分）（2）得到5个面．一个正四棱锥，每个侧面都是单位正三角形；一个正四面体，每个面也都是单位正三角形．把两个几何体通过一个全等的正三角形面粘接起来．因为有四个面两两融合，变成了两个面．原因是这里有两对两个二面角恰好互补，下面计算验证．分别计算二面角和二面角的平面角大小．………………………………………………………………………………………（11分）由（1）求得二面角平面角…………………………………（12分）取的中点，可得为所求的平面角，二面角的平面角，所以，这样平面APB与平面QFG融合成了一个平面，同理：平面DPC与平面QEG融合成了一个平面，所以组合体有5个面．…………………………………………………………………（15分）17．（本小题满分15分）解：（1）直接法：设点，由题意，，化简得：．……………………………………………………………（4分）（2）如图3，由于直线的斜率存在，设将直线代入，可得：则要图3韦达定理得：由于若四边形为平行四边形，则有即点在椭圆上，代入椭圆方程，化简可得：，满足：则弦长，点到直线的距离，故平行四边形的面积，所以面积为定值．…………………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）的所有可能取值为1，2，3．1个人的情况为：1号胜胜，则概率为，2个人的情况为：1号负2号胜胜或1号胜负2号胜，概率为，3个人的概率，所以分布列为：123所以．…………………………………………………（8分）（2）分三种情况：第一，一人全胜，该事件的概率设为，则第二，两人参赛获胜，该事件的概率设为，则第三，三人参赛获胜，该事件的概率设为，则由，所以要甲队获胜的概率大于，即，化简得：当，代入可得：，成立．………………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）解：列举或用公式可求出．………………………………………………………………………………………（3分）（2）解：由麦克劳林公式，令，有再取，可得，所以估算值为．在中，取，可得.………………………………………………………………………………………（9分）（3）证明：由麦克劳林公式，当时，令，有，猜想：令，有，猜想：令，由，所以，即．令，由，所以，即．又时，，，所以.令，当，有，则命题得证．……………………………………………………………（17分）