数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案ABDCBBCD【解析】1．，，故选A．2．由题意，由，整理得，故选B．3．向量在向量方向上的投影向量，故选D．4．，其中，，又当时，取得最大值，所以，即，所以，故选C．5．，，，，…，，，将以上等式累加，从第二个等式开始，上一个等式的左边与该等式右边第一项相消，即得，所以，故选B．6．因为，所以，即，由余弦定理，，，，则，故，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，则，因为，所以，所以，故选B．7．当时，游戏币已经输光了，因此，当时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率，故A正确；由题意可得，，所以，故B正确；参与者有n个游戏币的状态，可能来源于有个游戏币再赢一局，也可能来源于有个游戏币再输一局，由全概率公式，，故C错误；因为，所以为等差数列，其中首项，设公差为，则，即，，所以，当时，，故D正确，故选C．8．当且仅当时，等号成立，故选D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCDABC【解析】9．根据频率分布直方图可得，右边拖尾，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，A正确；回归分析中，线性相关系数的取值范围为，故B错误；回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好，故C正确；在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立，故D正确，故选ACD．图110．如图1，作，，，由，可知A，B在以点C为圆心，为半径的圆上，以，为邻边作矩形，由矩形的性质可知，，可得，即点D在以点C为圆心，8为半径的圆上，，即，，故选BCD．图3图211．如图2，延长到M，交延长线于M，则，为三角形的中位线，所以，故A正确；三角形面积故B正确；三角形的内切圆与x轴相切于双曲线的顶点，故C正确；设P在左支，，，①，②，由①、②得：，如图3：同理P在右支时，，故D错误，故选ABC．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案（答案不唯一）【解析】12．由题意知指数函数符合上述条件，答案不唯一.图413．如图4，将“羡除”分割为两个四棱锥，和直棱柱，故所求几何体的体积为EMBEDEquation.DSMT4QUOTE．图514．∵不是方程的根，所以有两个不相等的实数根，令，则．当时，，在区间上单调递减，且；当时，，在区间上单调递减，且，当时，，在区间上单调递增，且，∴的极小值为，图象大致如图5：若有两个不相等的实数根，则，即，且，令，则，由，得，又∵，∴，∴，取对得，∴．设，则，当且仅当时取等，所以在上单调递减，则.又∵在区间上单调递减，，，∴，即．∴实数的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总样本的平均数为，样本方差为，由，得所以. …………………………………………………………（7分）（2）解：设在男生、女生中分别抽取QUOTEm名和n名，则， 解得，， 记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：，所以，抽取的总样本的平均数为166cm；男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为 ， 样本方差为，记总样本的样本方差为， 则，所以，估计高三年级全体学生的身高的方差为46.4 . …………………………………………………………（13分）16．（本小题满分15分）（1）证明：因为，，，是等腰直角三角形，故，   所以，又，所以，所以B，F，D，G四点共面．    ……………………………………………………（5分）QUOTE（2）解：因为，以A为原点，建立如图6所示的空间直角坐标系，，因为，则，，，，，图6所以，.设平面的法向量为，则有化简得所以可取，，.设平面的法向量为，则有化简得所以取，平面与平面的夹角即与夹角或其补角，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. …………………………………………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）解：，所以曲线在点处的曲率为 …………………………………………………………（5分）（2）证明：由题意可得，，若曲率为0，则，即，分别化简可得，令，令，得，所以在上，，单调递增，且；在上，，单调递减，且.又，所以有两个解.设为，，，又，由QUOTE可设，QUOTE，所以，，，化简可得，则.要证，即证，需要证，即证，令，，所以在上单调递增，所以，得证．  ……………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）因为点在：内，所以圆N内切于圆M，则，由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且，，则，，所以动圆圆心N的轨迹方程为． ………………………………（7分）（2）由，，设直线GH的方程为：，联立椭圆的方程整理得两边同时除以，令，整理得由已知：解得：所以直线GH的方程为：，恒过点 …………………………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）解：（1）由得， ……………………………………………………（3分）（2）由变换的定义及知：，所以 ……………………………………………………（8分）（3）由（2）知，中0的个数和1的个数相等，设中有个01数对，由变换的定义知中的11数对只能由中的01数对得到，所以，中的01数对有两个产生路径①中的0得到，②中的11得到，而中有0和1的个数相等均为.所以有，即，由，，知，当时，若为偶数，则有：累加得：，同理可得，当为奇数时，综上所述， …………………………………………………………（17分）