成都石室中学2023-2024年度下期高2024届三诊模拟数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．满足且的集合的个数为（   ）A．1 B．2 C．3 D．42．在中，“是钝角”是“”的（   ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（    ）A． B．C．乙的成绩的中位数为 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4.用数学归纳法证明（）的过程中，从到时，比共增加了（   ）A．1项 B．项 C．项 D．项5．已知函数，则下列说法正确的是（   ）A．的图象关于直线对称 B．的周期为C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增6．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（   ）A．7 B．8 C．9 D．107．已知函数的图象在两个不同点与处的切线相互平行，则的取值可以为（    ）A． B．1 C．2 D．8.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（   ）A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面且不垂直9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，点，向量，且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和（点在轴上方），双曲线右焦点为，则（   ）A． B． C． D．11．如图，射线与圆，当射线从开始在平面上按逆时针方向绕着原点匀速旋转（、分别为和上的点，转动角度不超过）时，它被圆截得的线段长度为，则其导函数的解析式为（   ）A．B．C．D．12．若存在满足，且使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（   ）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数（为虚数单位），则.14．已知a是1与2的等差中项，b是1与16的等比中项，则ab等于.15.已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则.16.成都石室中学校园文创产品圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于、、，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（水面恰好同时到达上口圆“最低处”和下口圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．（本小题满分12分）如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)设AC=3，求．18．（本小题满分12分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；(Ⅲ)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率.19．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，且是的极值点，证明：.20．（本小题满分12分）已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.(Ⅰ)证明：四面体的体积为定值；(Ⅱ)已知异于、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.当，与平面的夹角均为时，求.21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的参数方程；(Ⅱ)若将曲线上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（本小题满分10分）已知函数．(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若、，，，证明：．